EQUIVALENCE ARITHMETIQUE DES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES INDEFINIES

168. Formes carrées. — Avant d'examiner le cas des formes indéfinies, c'est-à-dire dans lesquelles A = 6^ — ^ac est positif, il faut examiner le cas intermédiaire ou A = o (formes carrées). Ce cas est d'ailleurs très simples. On a alors :

ax^ H- bxy -+- cy^ = 7^ •^' .

La forme 2ax -hby a. une forme réduite qui est D(2a, b)x, donc ax^ -4- bxy ■+- cy'^ a la forme réduite (^) :

D'ailleurs

D^(2a, b) D(4q«, b^) D(4a^ 4ac) p.,^ .

7 7 L/IQ, CI,

Finalement ax^ -f- 6icy -+- cy^ a comme forme réduite D(a, c)x^. On voit alors que deux formes carrées (a, 6, c) et (a', 6', c') sont de même classe ou non suivant que D(a, c) = D(a', c') ou non.

En particulier deux formes carrées primitives sont de même classe. Car dans une forme carrée primitive on a D(a, c) = i. En effet lorsque a et c ont un facteur premier commun ce facteur divise aussi b et la fornqe n'est pas primitive.

C) Rappelons que D {a, b) désigne le plus grand commun diviseur de a et 6.

ÉQUIVALENCE DES FORMES DÉCOMPOSABLES 3o1

169. Formes décomposahles. — Nous arrivons maintenant au cas des formes indéfinies. Le déterminant A est positif et les

racines =^^ sont réelles. Mais il y a un cas particulier à

examiner celui où A est carré parfait (Comparer n° laB). Alors les racines de la forme sont rationnelles, la forme se décompose donc en un produit de deux formes linéaires à coefficients rationnels. On démontre même qu'elle se décompose en deux formes linéaires à coefficients entiers (Cas particulier d'un théorème dû à Gauss, qui sera démontré plus tard). En effet, soit :

(i) b^ — liac = m*

Alors ax^-hbxy-^ cy^ = - iax H — y\ lax n

et sont deux entiers, car on tire de (i) que 6 et m

sont de même parité. De plus leur produit est égal à ac, il est donc divisible par a. Il y a donc deux diviseurs complémentaires d'eid'

de a tels que d'd" = a et que — - — soit divisible par d' et

par d". Alors

ax^ + bxy + cy- = [d"x + ^-^ y'j (d'x 4- ^^ y).

Forme réduite. — Par une substitution unité on peut réduire en même temps (I. 286)

ad" y

Bx-i-

Alors

posant