AB
= u et AC = u
la forme est réduite
X [ux
-hvy)
avec
u <Cv.
3o2 THEORIE DES INOMBRES
Mais la substitution employée est seulement une substitution unité, elle n'est pas forcément modulaire. Or ici, voulant distinguer entre l'équivalence propre et l'équivalence impropre (n" 152) nous ne voulons employer que des substitutions modulaires. Il sera donc nécessaire, si la substitution employée précédemment
est de déterminant — i, de lui adjoindre la substitution ( ^ ° )
de manière à en faire une substitution modulaire. On peut seulement dire alors que la forme réduite est :
X {ux -H vy) avec
mais sans que l'on soit sûr du signe de v.
Néanmoins, par une nouvelle substitution modulaire on peut faire que ce coefficient soit positif. En effet, étant donnée la forme X (ux -4- vy) où l'on suppose y <C o, choisissons deux entiers a, y, satisfaisant aux conditions
au -h yv = D (u, v), a >. o et faisons la substitution modulaire
Alors X {ux ■+- vy) se transforme en
a:[aD(u, v)x — vy]
de sorte que les coefficients de x et de y sont maintenant tous les deux positifs.
En résumé la forme réduite est :
x{ux -h vy) avec
0 <C u <Cv
Théorème . — Deux formes réduites de même classe sont identiques . ^ Soient les deux formes
x{ux + vy) et x{a'x -h v'y)
ÉQUIVALENCE DES FORMES DÉCOMPOSABLES 3o3
Puisqu'elles sont de même classe elles ont même déterminant.
Donc v'^ = v'- et puisque v et v' sont positifs on en déduit v = v'.
Écrivons alors que la première forme devient la seconde par
la substitution modulaire (J'A nous avons
aa^ H- uay = u'
2Ua^ + u(at8 -j- ^y) = V
La dernière équation donne
soit p = 0 soit u,3 -t- u5 = 0 Si
^ = 0 on a a = 8^£ (e = ±l)
et la première équation donne
tvy = u' ~ u.
Or o <; «' <! y et 0 <[ u < V, donc y = o et u' = m.
Les deux formes sont identiques,
Si
Up -h «0 = 0
la seconde équation donne
ui^ -\- vp^ = v
Des deux équations précédentes on tire
v(cxo — Py) = — ^
d'où, puisque ac? — I^V = i . on tire v = o. Mais si y = o la forme n'est pas seulement décomposable, elle est carrée. Ce cas est écarté ici.
Substitutions automorphes de la forme réduite. — On a trouvé a = â = z |9=7=o donc les deux seules substitutions automorphes d'une forme réduite sont I et J (n* iSg).
170. — Nous considérons à partir de maintenant les formes^ indéfinies non décomposables. Le déterminant A ^ 6^ — 4ac est
-3o4 THÉORIE DES NOMBRES
positif et non carré parfait. Les racines =^- — sont des nombres
quadratiques réels.
La solution du problème d'équivalence donnée pour les formes définies ne s'applique pas aux formes indéfinies, car les calculs faits à cette occasion supposent essentiellement D "> o. Nous ferons reposer la solution du problème pour les formes indéfinies sur de tout autres principes.
Nous distinguerons, comme nous l'avons déjà fait pour les formes définies, la première et la seconde racine.
— 6-+-v/À ., • ' — est la première
est la seconde.
Le théorème du n» i63 et sa démonstration s'appliquent, sans modification, aux formes indéfinies. Les théorèmes II et III du n" i64 s'appliquent aussi aux formes indéfinies mais la démonstration est à modifier.
Soit la forme (a, 6, c)dontla première racineestco= • Si
l'on fait sur (a, 6, c) la substitution modulaire [ îj* la racine de la forme transformée qui correspond à oj est
c'est-à-dire
— [^aat'^ -f- feÇgg -+- Py) + aoyS] -f- (a5 — ^y) y/A
ou
a' et b' étant le premier et le second coefficient de la forme transformée. On voit que si la substitution est modulaire uâ' — jSy = i , et cette racine est bien la première de la forme transformée. Si la substitution est unité et non modulaire la première racine d'une forme correspond à la seconde de l'autre.
171. — L'équivalence de deux formes indéfinies est ainsi ramenée à celle de leurs racines. Provisoirement nous ne distinguerons pas entre l'équivalence propre et l'équivalence impropre. On sait (n° 107) qu'une condition nécessaire et suffisante pour l'équivalence de deux nombres réels est que leurs développements en fractions continuelles soient identiques à partir d'un certain élément. Ici, de plus, les nombres en question étant quadratiques, leurs développements sont périodiques. Alors la condition précédente s'énonce : pour que deux nombres quadratiques soient équivalents il Jaut et il suffit que leurs périodes se déduisent lune de l autre par une permutation circulaire.
Supposant cette condition satisfaite cherchons toutes les substitutions unités par lesquelles on passe d'un nombre à l'autre.
Puisque les périodes se déduisent l'une de l'autre par permutation circulaire on peut supposer qu'elles sont identiques en rejetant, s'il le faut, les premiers éléments de l'une des deux dans la partie non périodique. Ecrivons donc
Il +
ïr -H
ai H-
flr-H
Posons
e = ai +
P Vh
Désignons par rè et q-^ la dernière et l'avant-dernière réduite
de 60 4-
la dernière et l'avant-
dernière de 60' -h g-7—
On aura
P/.e Ht P/i-i
On passe de oj à 0 par la substitution ^ = ( 'O * P^ /
(P ' P' \ q', ç.,^~^ I . On voit alors
Cahss. — Tfcéorie des nombres, t. II.
comme toujours que la forme générale des substitutions par lesquelles on passe de w à 5 est ITl', T étant la forme générale des substitutions automorphes de $.
D'ailleurs comme 1 et 1' sont des substitutions unités pour que 2T2i' le soit aussi il faut et il suffît que T le soit. Donc la forme générale des substitutions unités par lesquelles on passe de (jH à Ô est 2T2', T étant la forme générale des substitutions automorphes unités du nombre quadratique immédiatement périodique 0, et on est ramené à chercher ces dernières.
172. — Substitutions automorphes unités d'un nombre quadratique immédiatement périodique.
Soit
Or
Considérons la fraction continuelle formée par n périodes
fll +
Soit — la dernière réduite de cette fraction continuelle et ^
Yn On
l'avant dernière. On a
at„0
TnO
«nS„ — Pntn = {— 0"'
Faisant n= i, 2,... on a ainsi des substitutions unités automorphes de B. On a de plus les substitutions inverses de celles-là et enfin la substitution unité. Je dis que ce sont là toutes les substitutions unités automorphes. En effet soit
une telle substitution. On a
Si y = o, comme Q n'est pas rationnel on a a = c? et ^3 = o la substitution (2) est alors la substitution identique.
Si 7 ;2f o, on peut supposer 7 > o, sinon on changerait le signe des quatre coefficients a, ]3, 7, (?.
ÊQCIVAI.EJNCE DES FORMES 1>'DÉFI>1ES Soj
Exprimons que Q est immédiatement périodique c'est-à-dire (n° 115) que l'équation (3) a une racine plus grande que i et une racine comprise entre o et — i . On trouve aussi (puisque y > o)
De plus on a
(5) aô — ,Sy = e (e = ± l)
P et 7 étant positifs, on en déduit
Soit d'abord o^& >• o. On peut supposer a > o et ô^ >> o, car sinon on considérerait, au lieu de la substitution (2) la substitution inverse
^- Y^-ct •
Portons dans la troisième des inégalités (4) la valeur de ^ tirée de (5). Il vient
(a — P)Cy + a) > e > g.
Donc
Ceci posé développons - en fraction continuelle. Soit
3' ce développement écrit de façon (n" 83) qu'en appelant ^ l'avant-
dernière réduite on ait
ao' — ^'y = <^8 — ^y.
Cette dernière égalité s'écrit (6) a(3' — S) = y(.3' — ^)
« divise '/(^ — p), or il est premier avec 7 donc il divise ^' — ^. Or
3o8 THÉORIE DES NOMBRES
et
Donc puisque a divise |S' — /3 c'est que ^' = ^. Alors l'égalité (i6)donnecJ^' = (3^.
Alors l'égalité (2) s'écrit
ce qui entraîne
o = « + Fq=|- + l/-:f:|o
et par suite
et par suite démontre le théorème.
Soit maintenant ac? = o. Nous subdiviserons ce cas en deux. Soit d'abord a = o. Alors
avec
Py = ± 1
On peut, c^mme tout à l'heure, supposer y > o et la première des inégalités (4) donne fli > o, donc ^ 1= y = i, et la seconde des inégalités (4) donne â <C o. Ainsi :
avec & <C 0. Ceci s'écrit
d'où
(fi) o-ô + v/8-^ + 4 .
Mais la substitution (7) est l'inverse de
dont les coefficients ( j sont bien formés par la première
période de la fraction continuelle (8) de la façon indiquée. Le cas de d^ = o se traite de la même façon.
173. Théorème. — Les substitutions homographiques unités automorphes d'un nombre quadratique forment un groupe qui est constitué par les puissances de l'une d'elles.
Pour les nombres immédiatement périodiques le théorème résulte immédiatement de ce qu'on a dit au numéro précédent.
Car la substitution T« = ( " '^"l (n > o) est évidemment la
puissance n*ème Je Tj, et comme il faut adjoindre à ces substitutions leurs inverses et aussi la substitution unité, on obtient le groupe formé par l'ensemble des puissances à exposant positif négatif ou nul, deTi.
Soit maintenant un nombre non immédiatement périodique w.
La forme générale de ses substitutions est (n° 171)
Or
