S-HT,)«S = (S-%S
ce qui démontre le théorème.
La substitution A = S~^TiS qui sert ainsi à former toutes les autres s'appellera la substitution automorphe unité Jondamentale de w.
Remarque. — Si cette substitution A est modulaire, toutes les substitutions automorphes unités de w le sont aussi ; si la substitution A n'est pas modulaire une substitution A" est modulaire ou non suivant que n est pair ou impair. Dans les deux cas toutes les substitutions automorphes modulaires sont les puissances de l'une d'elles qu'on appellera automorphe modulaire fondamentale.
On remarquera l'analogie des raisonnements précédents avec ceux qui nous ont servi à résoudre l'équation de Fermât. C'est qu'en effet, le problème des substitutions automorphes unités d'un nombre quadratique peut se ramener à la solution d'une équation de Fermât. Ce procédé conduira d'ailleurs aux mêmes calculs que le précédent, puisque la résolution d'une équation de Fermât se
3lO THÉORIE DES NOMBRES
fait elle-même par la réduction d'un nombre quadratique en fraction continuelle. Soit le nombre w racine de
aoi^ + 6u) H- c = G où l'on suppose a, b, c premiers dans. leur ensemble ; et soit
aïo + P
yw
une substitution automorphe unité de w. En écrivant que les deux équations du second degré qu'on a ainsi pouroj sont les mêmes on obtient
Puisque a, 6, c sont premiers dans leur ensemble la valeur commune de ces rapports est un entier u. Posons de plus a -\- â = t', nous trouvons
t' — bu ^ . /' -h 6u
a = , p = — eu, Y = au, 0 =
d'où, en portant dans aâ' — /By = ± i, on a
Mais de plus, il faut que aetâ' soient entiers, ce qui exige que /' et bu soient de même parité. On posera donc
t' =. ui -+- pu
(p = G ou I suivant que b est pair ou impair) et l'équation en /, u, sera
P -h au — ~P u2 = ± I.
C'est l'équation de Fermât.
On a ainsi le résultat suivant : En appelant /„, u„ la solution
A — p^ générale de l'équation t^ -t- p<a j-^ «^ = ± i , la forme
générale des substitutions automorphes unités de « est
OB, tn H U«
ÉQUIVALENCE DES FORMES IXDEFIMES 3ll
La même formule donne la forme générale des substitutions automorphes modulaires de &j, en appelant /„, «„ la solution géné-
raie de i^ -\- otu 7—^ m* = i .
D'ailleurs ce qui précède s'applique aussi aux nombres quadratiques imaginaires. Seulement dans ce cas A est négatif, alors l'équation de Fermât se résout immédiatement et n'a qu'un nombre limité de solutions. On retrouvera ainsi les résultats du n° 159.
174. — On a vu au n° 171 que : Pour que deux nombres quadratiques réels soient équivalents, il Jaui et il suffît que leurs périodes se déduisent l'une de Vautre par une permutation circulaire. On peut maintenant ajouter : La condition précédente étant remplie, pour que les deux nombres soient équivalents proprement il faut et il suffit, ou bien que le nombre des éléments de la période soit impair ; ou bien, si ce nombre est pair, que les éléments qui dans chaque développement précèdent un même élément de la période soient en nombres de même parité.
En effet la forme générale des substituti ons qui transforment oj' en w est 2(Ti)"2', T^ étant la substitution fondamentale de 9. Le déterminant de cette substitution est égal au produit des déterminants de ses trois facteurs, c'est-à-dire à
(— I)''-' X (— I)'"- X (— 1)'''-^ ou (— i)'i+'''+'"-
(mêmes notations qu'au n° 171).
Si r est impair il n'y a qu'à prendre n de même parité que h -h h' pour que ce déterminant soit égal à 4- i.
Si au contraire r est pair, ce déterminant est égal à ( — 1)''+''' quel que soit n: Si h -\- h' est pair toutes les substitutions I(T,)"2' sont modulaires. Sih -+- h' est impair, aucune ne l'est.
Application à Féquivalence de deux formes quadratiques binaires indéfinies. — On a vu (n" 170) que l'équivalence propre de deux telles formes se ramène à l'équivalence propre de leurs premières racines, et que l'équivalence impropre de deux formes se ramène à l'équivalence impropre de la première racine de l'une avec la seconde racine de l'autre. Il ne faut pas oublier que les
deux substitutions y g) et ( ~ ^ ~ U qui ne sont pas consi-
THEORIE DES iNOMBRES
dérées comme distinctes quand il s'agit des nombres, le sont quand il s'agit des formes.
Remarquons à ce propos que si la première racine d'une forme (a, 6, c) est improprement équivalente à la première racine d'une forme {a, h' , c') cela veut dire que (a, 6, c) est improprement équivalente à ( — a' , — 6', — c').
Exemples. — r Soient les deux formes f= {3, — i6, 9) et f = (53, 558, i468).
On a
8 + s/'i-J ^ /L , L I J I 1 ~" 3 ^"*"i-f-Ia-i-l3H
En posant
On a
^3iO — 5
Donc to' se transforme en 6 par la substitution / „ „ |
0 se transforme en w par la substitution ( ^ )
/ 1 o 3 ^ " et les substitutions automorphes de 0 sont ( ) •
Donc les substitutions qui transforment w' en w sont les substitutions
Le déterminant de S„ est
(-1)" il ne faut donc garder que les valeurs paires de n, c'est-à-dire les substitutions
^^^-[i 0JV7 W 1-6 -3i,
Elles transforment/ en/'. Donc /et/' sont de même classe. Pour h = o par exemple on trouve
Sî =
Les substitutions So/i-i de déterminant — i transformeraient /en — /'. Donc /et — /' sont de classes opposées.
2° Soient les deux formes (i, o, — 3) et ( — i, 6, — 6)
30 -}- 1 Les substitutions qui transforment co' en u sont les substitutions
Ces substitutions ont toutes comme déterminant — i. Donc/ et y ne sont pas de même classe. Les substitutions S„ transforment /en — /'. Doncy et — /' sont de classes inverses.
Remarque. — Gontraireoient à ce qui a lieu pour les formes définies, il peut arriver que deux formes opposés soient de même classe, autrement dit que deux classes opposées soient identiques. On vérifiera par exemple que (i, o, — 2) et ( — i, o, 2) sont de même classe. (Voir n° 178). Enfin il peut arriver qu'une classe soit identique à l'inverse de son opposé, autrement dit que (a, b, c) et ( — a, b, — c) soient de même classe. Les deux formes (1,0, — 2) et ( — I, o, 2) en donnent aussi un exemple.
175. — Formes réduites. — La solution du problème de l'équivalence de deux formes indéfinies est ainsi obtenue sans la considération de formes réduites. Il est cependant utile de définir de telles formes. C'est ce qu'on peut faire de la façon suivante : Nous
TUCORIE DES .NOMBKES
dirons qu'une forme indéfinie est réduite quand sa première racine est développable en fraction continuelle immédiatement périodique. Dans chaque classe il y a des formes réduites, en général plus d'une, mais toujours en nombre limité. En efTet soit une classe définie par une forme dont la première racine est
Si h est impair considérons les formes dont les premières racines sont les nombres
et qui ont le même plus grand diviseur que/ (en particulier qui sont primitives si /est primitive).
Si h est pair considérons les formes dont les premières racines sont les nombres
OsH-
et qui satisfont à la même condition que plus haut relativement à leur plus grand diviseur.
Ces formes répondent à la question et ce sont les seules. Il
y en a - si r est pair et r si r est impair. Elles forment une chame
fermée.
Exemple. — Reprenons la forme (3, — 16, 9) du n° 174. Sa première racine est
FORMES INDEFINIES REDUITES
Donc dans la classe de cette forme il y a trois formes réduites, qui ont pour premières racines respectivement :
et qui sont primitives. Ce sont les formes
Prenons comme deuxième exemple la forme (i , o, — 3) du même n". Sa première racine est
II n'y a qu'une forme réduite de même classe, à savoir celle dont la première racine est
et qui est primitive.
C'est
Conditions pour quune Jorme soit réduite. — D'après len" 115 pour exprimer qu'une forme (a, h, c) est réduite il n'y a qu'à exprimer que sa première racine est plus grande que i et que sa deuxième est comprise entre o et — i. Ce qui, d'après les propriétés élémentaires du trinôme du second degré, s'exprime par les conditions nécessaires et suffisantes :
Remarquons que ces conditions entraînent 6 <; o (^).
(^) La solution du protlème de l'équivalence des formes indéfinies et la considération des formes réduites sont dues à Gauss (Disq. arilhm. art. t83 et suiv.). La définition des formes réduites de Gauss n'est pas tout à fait la même que la nôtre. Elle s'y ramène facilement, mais la nôtre nous paraît un peu plus «impie.
176. Différence essentielle entre ces formes réduites et celles relatives aux formes définies. — Le fait que dans les formes définies (n° 157) il n'y a qu'une forme réduite par classe tandis que dans les formes indéfinies il peut y en avoir plusieurs ne constitue pas une différence essentielle. Car on arriverait facilement à fixer dans les formes indéfinies une seule forme réduite par classe. 11 suffirait de conditions supplémentaires (par exemple on pourrait choisir la forme dont la première racine est la plus petite).
La différence essentielle est que la réduction des formes définies dépend de conditions algébriques et par suite s'applique aux formes à coefficients quelconques (n° 162) ; tandis que la réduction des fopmes indéfinies dépend de conditions arithmétiques et ne peut s'appliquer qu'aux formes à coefficients rationnels. Pour les formes indéfinies à coefficients non rationnels, leurs racines ne sont pas des nombres quadratiques, elles ne se développent pas en fractions continuelles périodiques et rien ne subsiste des définitions du n° 175.
Au n° 164 on a défini des nombres imaginaires réduits | -4- rji par des conditions de grandeur entre | et /;. Une définition semblable est impossible pour les nombres réels. On ne peut pas définir des nombres réels réduits par des conditions de grandeur de façon que tout nombre réel soit de même classe qu'un seul ou même qu'un nombre limité de nombres réduits. Pour le voir il suffit de montrer que tout nombre réel a des nombres de même classe qui sont aussi voisins de lui qu'on veut.
Soit
Prenons
bn -+-
On+j -+-
de façon que les éléments du second développement soient identiques à ceux du premier sauf an- Le nombre ^ est équivalent au nombre a, et pour n pair il est de même classe. Or on peut prendre n assez grand pour qu'il diffère de a d'aussi peu qu'on le veut.
On remarquera en effet que les conditions du n" 175 ne sont pas des conditions de grandeur sur la première racine o) seulement, mais sur les deux racines « et oj. Lorsque la forme est à coefficients
rationnels la connaissance de w entraîne celle de oj. Il n'est donc pas étonnant qu'on puisse exprimer ces conditions au moyens de w tout seul. Mais rien de pareil n'a lieu pour les formes à coefficients quelconques.
Note I. — Sur les puissances d'une substihUion linéaire. — Si l'on compare les deux expressions qu'on a trouvées pour l'expression géné raie des substitutions automorphes unités d'une forme indéfinie (a, b, c) on en déduit :
. . f> — P / l M b — p a u^ 'i+^r— -^«1 / \ a^n ^iH r-^ «»
D'ajlleurs /„ et u„ s'expriment en fonction de oj et w qui sont les. racines de
o b^ — liac — p lO^ -+■ OM — 7 = o.
Ce résultat peut se généraliser pour les substitutions linéaires quelconques. On peut exprimer les coefficients de la puissance «'''"« d'une subslilulion linéaire d'ordre p à coefficients quelconques {ou d'un tableau) an moyen des racines d'une équation de degré p formée avec les coefficients de la substitution.
Soit la substitution :
