J2 ••• "IP

*pi • • • • ^pp .

Considérons le système d'équations linéaires suivant :

/ ■« \ 0=210^1 H- 4- a a; = Sxi

V OfplXl + -+- H^y^J, ^ Sx

THEORfE DES NOMBRES

et cherchons les valeurs de S pour lesquelles il a des solutions non toutes nulles. Elles sont données par l'équation

atii — S

«1! '^Ip

Ot22 — O... Oi-2r,

*pi

Cette équation est dite équation caractéristique de la substitution (ou du tableau). En général elle a n racines distinctes, n'annullant pas les mineurs du déterminant (lo) et à chacune d'elles correspondent pour T,, x-î, ... Xp des valeurs dont les rapports sont déterminés et peuvent se tirer, par exemple, des p — i premières équations (9).

Soit

Pour les valeurs particulières

Xi = Ai(S) a-a = A2(S)

Ap(S)'

Xp — Aj,(S)

la substitution proposée est équivalente à la substitution

Donc sa puissance n*"" est équivalente à

Si donc on appelle

cette puissance n*™" pn a les relations

a!:,Ai(S) + a»,A2(S) + ... + a7,A^(S) = S"A,(S) ct^, A,(S) -h al,A,{S) + ... ■+- aî,A^(S) = S»Aj(S)

a;,Ai(S)4-a;,A2(S)

ct;,A^(S)=S"A^(S).

Et en écrivant ces relations successivement pour les p racines de l'équation en S on a p^ relations du premier degré d'où l'on peut tirer les a.

Le raisonnement précédent serait en défaut pour des valeurs particulières des a telles que les mineurs du déterminant (lo) soient nuls, ou bien telles que l'équation en S ait des racines multiples. Mais comme les valeurs trouvées pour les a dans le cas général sont des fonctions entières des a et comme elles constituent des identités elles ne cessent pas d'être vraies dans ce cas particulier.

Soit par exemple p = 2 et la substitution i '^ L'équation

en S est

S* — (:« -+- o)S -+- ct5 — Py — o.

Soient Sj, S^ ses racines. On trouvera :

Ol Oj

Si" — S,.»

Oi O2 Ol — 0-2

Les quantités -4 ^^ et g ^, — sont des fonctions symétriques entières de S^, 85 et par suite des fonctions entières de a, ^, 7, S.

(Dans le cas particulier où (a -h 5)^ — 4('='^ — ?Y) ^F= o on a Si = S2 ; les formules (ii) ne subsistent qu'à condition de remplacer

^c" ~ f ^^ P^i" Si"~^ + Si"~^ + ••• "•" ^â"~^ c'est-à-dire par

Oi — 02

On peut déduire des formules ( 1 1 ) les conséquences suivantes :

g ft

Les quantités — et — sont indépendantes de n et égales res-

pectivement à et - •

Note n. Sur les couples de nombres réduits. — Un nombre quadratique réel w est dit réduit lorsqu'il est plus grand que i et que son conjugué est compris entre — i et o. Cette définition ne s'applique

320 THÉORIE DES NOMBftES

qu'aux nombres quadratiques, mais en considérant des couples de nombres on peut étendre la déûnition à tous les nombres réels.

Nous appellerons couple réduit un ensemble de deux nombres réels dont l'un est plus grand que i, et l'autre compris entre — i et o.

Nous appellerons couples équivalenls deux couples w, w' et tp, 9' tels

^"^^^yo)' -+- Pj'"^ = :^irq:rs ("' ^ ï, «, entiers; ao — PY = ± i).

L'équivalence sera propre si a5 — !îy = -f- i ; impropre si

Etant donné un couple w, w', trouver les couples réduits proprement

équivalents.

Cherchons-en d'abord un. Soit u>2n un quotient complet, d'indice

pair, du développement de w en fraction continuelle. On a

., "8n-l'*>2n ~t- "2n-i /PO PO i\

W f^ — —7^ lr2„iV^2n-2 r2„2V-2n-l *^

V2n-lWjn -t- V2n-2

et d'ailleurs 0)2,, > i. Si donc de plus le nombre w'2,, défini par

> Psn -1^ 2n + "2»!— 2

«•> = T^v — fY' —

\iin—l^ 2n ~H V2n— 2

est compris entre — 1 et o, le couple 0)2,1, ^'s'i répondra à la question. En exprimant ces deux conditions en fonction de w' on trouve facilement :

Pân— s ..( '^■în—l — "

Q2n— 2 .^ ^ „|. Qin—i — Q2n-2 -^ . -p > O et p > O.

*2n-l , .1 ■ ±Jn~i

Or ~^^, ^^^' et ^^ ^^ tendent vers O). Donc pour n

V2n-8 Usn— 1 V2n— 1 — V2n-2

suffisamment grand les conditions précédentes sont réalisées et l'on obtient un couple réduit équivalent à w, w'.

On peut maintenant, dans le problème de trouver tous les couples réduits 9, 9', proprement équivalents à un couple w, w', supposer que to, O)' est lui-même réduit.

Soit alors

ac? -4- § , aç' H- ^

ycp -j- 2 Yç H- 0

où l'on suppose y > o (car on peut changer a, p, y, S, tous les quatre de signes). Nous supposons que w et 9 sont plus grands que i, et que w' et ç' sont compris entre — 1 et o.

De w >> 1 et 9 >> I , on déduit facilement que l'une des deux conditions suivantes :

est remplie.

De w <; 1 et ç <C 1 , on déduit que l'une des deux conditions suivantes :

est remplie.

Ensuite on voit facilement que la première des conditions (12) et la première des conditions (i.i) prises ensemble sont incompatibles avec ao — ,Sy = I .

De même la seconde des conditions (12) et la seconde des conditions (i3).

Restent donc les hypothèses

A) - > I et ^ > I

B) >, et >,.

Dans l'hypothèse A, puisque y > o on trouve a >» o et ^ ]> o ; puis

Donc puisque 0 ne peut être égal à y, on a 5 <; y.

Cela étant, si l'on réduit - en fraction continuelle de manière qu'il Y

y ait un nombre pair d'éléments soit pour un instant Ç, l'avant dernière réduite. On aura

ao' — ^y' = I avec o < 0' <C Y

et comme l'on a

aô — i^Y = '^ *^®<^ o <; ô <; Y

Alors l'égalité w = ^ ^ montre que ç est un quotient complet

du développement de w en fraction continuelle.

Gabe^i. — Théorie des nombres, t. II. 31

L'hypothèse B se déduit de l'hypothèse A par le changement de a, §, Y» ^. respectivement en — 8, p, y, — a. Donc le raisonnement

qu'on a fait sur la relation w = °"^ ^ '^ peut se faire sur la relation

<p ::=^ — - ■^'^ "T- ï c'est à-dire que, dans l'hypothèse B, c'est w qui est un

quotient complet du développement de cp.

On peut encore remarquer que Ihypothèse B se déduit aussi de l'hypothèse A. par le changement de a, 3, y. ^ en 8, — y, — j3, a et comme l'on a :

et que d'ailleurs , et , sont plus grands que i , il en résulte que

ï est une réduite du développement de — -, en fraction continuelle.

En résumé : étant donné an couple réduit w, w', on réduit (a et -,

infractions continuelles. Soit j^ la réduite de rang h du premier déve-

loppement e^ ^f^ la réduite de rang h du second. Les substitutions

Qî„2 -P

\ Qin-l Pzn-i /

OH n prend toutes les valeurs entières de — oo à -h oo, étant appliquées au couple w, ou', donnent tous les couples réduits proprement équivalents. On trouve ainsi une infinité de substitutions modulaires. Mais cela donne-t-il une infinité de couples réduits ? Pour que le nombre des couples soit limité il faut et il suffit qu'on trouve deux couples identiques.

— Q2n-lW -f- Pî„l ~~ — Q-im^W H- Ps,,^-!

Q2n-lW' H- Pîn-l — Qam-iw' -+- P2m-2 *

Il faut donc que w et w' soient deux nombres quadratiques conjugués. Réciproquement, cette conditon est suffisante, comme on l'a vu au n° 175.

Pour les formes indéfinies (a, b, c) dans lesquelles les coefficients sont dans des rapports rationnels il y a un nombre limité de formes réduites.

Pour celles dans lesquelles les coefficients ne sont pas dans des rapports rationnels il y a comme au n° 175 une chaîne de formes réduites, mais cette chaîne ne se ferme pas et s'étend à l'infini dans les deux sens.

III. — Dans chaque classe de formes quadratiques binaires indéfinies il existe des formes (a, b, c) telles que |6|<î5|a|^|c|. (Comparer avec n" 157). Ces conditions entraînent ac < o. Il n'y a •qu'un nombre limité de telles formes dans chaque classe. Elles peuvent par suite servir de formes réduites.

IV, — Vérifier l'équivalence des couples de formes suivants :

(i, a, — 4) et (— i45, — 210, — 76) (77, — 40, 5) et (5, — 10, 2)

-et trouver les substitutions modulaires par lesquelles on passe de l'une •k l'autre.