APPLICATION DES THEORIES PRÉCÉDENTES

A L'ANALYSE DIOPH ANTIENNE

177. — Deux formes peuvent-elles être équivalentes à la fois proprement et improprement? Formes bilatères.

Si J est équivalente à la fois proprement et improprement à/', il en résulte évidemment que J (et /') est équivalente improprement à elle-même.

Réciproquement si on trouve une forme /équivalente improprement à elle-même, toute forme y qui lui est équivalente d'une façon l'est aussi de l'autre.

Le problème est donc ramené au suivant : Trouver les formes équivalentes improprement à elles-mêmes ou encore : Trouver les formes qui sont de même classe que leurs inverses (n° 156). D'ailleurs la propriété en question appartient en même temps à toutes les (ormes d'une même classe.

Le problème peut donc s'énoncer : Trouver les classes identiques à leurs inverses.

Définition. — Une classe identique à son inverse s'appelle ambiguë ou bifide ou bilatère. Nous adopterons cette dernière dénomination. Toute forme appartenant à une telle classe sera dite elle-même une forme bilatère.

On aperçoit immédiatement les formes bilatères suivantes : les formes (a, o, c) qui admettent la substitution automorphe

( I ) ^'^ l^s formes (a, a, c) qui admettent la substitution

/ ). On les appellera : Jormes bilatères simples.

CL4SSES BILATÈRES 32 5

Recherche des classes bilatères. — Nous allons suivre une méthode due à Lejeune-Dirichlet (^). Elle s'applique aux classes définies et aux indéfinies, elle ne suppose pas les coefficients des formes entiers ni même rationnels.

I. — *S/ une forme est bilatère toute substitution automorphede

déterminant égal à — i de celte foi me est de la Jorme (^ ^\.

Soit (a, b, c) la forme, | Cl la substitution. On a

' ax^ -+- feay -+■ c^^ = a

j ^aoLp --H 6(aro -f- .Sy) -f- 2078 = 6