Py =-i

Multiplions la première de ces égalités par — â', la seconde par Y 1 .» by . ...

- , la quatrième par — + aa et ajoutons, il vient :

De même en multipliant la seconde par ^, la troisième par

— a, la quatrième par — + co' on obtient '

Donc à moins que a= c = o on a7. -\- r) = o.

Le cas de a = c := o n'est pas intéressant mais d'ailleurs on voit facilement que, dans ce cas, le théorème est encore vrai la substitution se réduisant à

Co)

IL — Dans toute classe bilatère on peut trouver une Jorme [a, a^, c) qui admet la substitution automorphe l ^y

Remarquons d'abord que si une forme (a, 6, c) admet la substitution automorphe ( ) '® seconde des équations (i) donne

(*) J. d. M. (a), lome i (1857), p. 378 ; Werke, lome 2, p. 209.

Safi THÉORIE DES NOMBRES

et qne par suite

(a, b, c) = {a. ap, c).

Il suffit donc de démontrer qu'on peut trouver dans la classe bilatare une forme admettant la substitution autoroorphe

En effet, prenons dans la classe une forme (a, b, c) admettant la substitution (" ^). Si y = o le théorème est démontré.

Sinon considérons la forme (a, b, c) ( ' H ().p — p= i).

Elle est de même classe que (a, fe, c) et elle admet la substitution automorphe de déterminant — i :

\^__v xAy — «Av p/ = \ï' S'j

On va déterminer X, (i, v, o pour que y' = o ce qui donne y' = yX* — 2a?.v — pv' = O.

On en tire

X g ± y/^a" H- fvY a d= I

Prenons par exemple le signe -f- dans le second membre. X et V devant être premiers entre eux on prendra

Puis on prendra p. et p satisfaisant à Xo — vjul = i . III, — Dans toute classe bilatère il y a des formes bilatères simples.

Ayant obtenu dans la classe une forme (a, a^, c), on appliquera

/, Li:if\

à cette forme la substitution I a I (p = o, ou i suivant

que |3 est pair ou impair). On obtient ainsi la forme

(a, a?. - a(P* - p") -h 4c) qui est bilatère simple.

CLASSES BILATÈRES 827

Conclusion. — Les classes bilatères sont celles des formes (a, 0, c) et (a, a, c).

Resterait à voir toutes les classes bilatères distinctes que cela donne, ce qui sera fait plus loin (Ch. XXIII),

Remarque. — Une forme (a, a, c) transformée par la substitu-

tion ( } devient (c, a — 2C, c) dans laquelle le premier

et le dernier coefficient sont égaux. Réciproquement, une

forme (a, 6, a) transformée par la substitution ( ) devient

(aa H- 6, 2a + b, à).

On peut donc dire : les classes bilatères sont celles des Jormes

(a, 0, c) et (a, 6, a).