On traite d'une façon analogue un problème posé au

Trouver une Jorme (a, b, c) de même classe que son opposée ( — a, — 6, — c), c'est-à-dire Trouver les classes identiques à leurs opposées.

On a comme solutions évidentes les classes des formes (a, 6, — a) qui se transforment en leurs opposées ( — a, — 6, a)

par la substitution ( M .

Nous allons montrer qu'il n'y en a pas d'autres. On aura ici

ioat* + bcTf -f- cy*" = — a

aaa^ -+- b{a5 -+- ^y) -H 2Cv5 = — 6

a^» -f- fepS -t- cô* = — c

aè — p-j- = T.

On trouve d'abord comme précédemment que a = — â. Ensuite considérant la forme (a, 6, c) l ^ | on chercbfl à déterminer )., p., v, p de façon que dans la substitution

le premier et le quatrième coefficients soient nuls ; on trouve

(aX -f- ^v)p — (yX — av)îJt. = O

équation qui jointe à Xû — jjlv = i donne

yX — av

yX* — aaXv — P^^

aX H- pv yX* — aaXv — pv*

Le dénominateur commun à ces deux expressions est une forme quadratique en X, v, à coefficients entiers dont le déterminant 4(a* -h py) est égal à — A- Elle est donc équivalente à la forme (l, o, i) car on démontrera (Ch. XIV) qu'il n'existe qu'une classe de déterminant égal à 4- Or la forme (i, o, i) représente primitivement l'entier i . Il en est donc de même de la forme

(y, - aa, P)

et l'on peut déterminer des valeurs entières de ),, v, premières entre elles pour lesquelles

y\i îctXv — ^v» == I .

Ces valeurs déterminées on a

p = yX — av (jL = aX + ^v.

La substitution modulaire ainsi obtenue dans laquelle le premier et le quatrième coefficient sont nuls est la substitution

(^ j ou la substitution (° |.

Alors la première des équations (2) donne c = — a, ce qui prouve bien que la classe est représenlable par une forme (a, 6, — a).

Voici encore un problème dont l'énoncé est analogue aux deux précédents. Trouver les classes identiques à leur inverse-opposée (inverse de l'opposée ou opposée de l'inverse. Les classes des formes (a, 6, c) et ( — a, 6, — c) sont inverses opposées). Mais la solution de cette question est d'une nature différente de celles des précédentes et sera donnée plus tard (n° 269).

179. Problème, — Reconnaître si une forme (a, 6, c) contient arithméliquement une autre forme (a', 6', c') et trouver les substitutions par lesquelles on passe de la première à la seconde.

En appelant A le déterminant de la première; A' celui de la

FORME COMErSUE DANS UNE AUTRE 829

seconde et ( ^\ une subslilulion par laquelle on passe de la pre- A' = A(a5 — Pj)\

mière à la seconde on a :

Une première condition nécessaire est donc que ^ soit le carré

d'un entier.

Cette condition remplie soit -r- = m^, reste à voir s'il est possible de trouver a, ^'3, y, â' telles que

oto — ^y ^ zh m

Or la substitution ( ^ ) peut se mettre (I, 874) sous la forme

XU

(y! S,) avec

(4) «1 > O 5, > o O < Yi < 5, aj?! = ± m

et U étant une substitution unité.

Alors l'égalité (3) s'écrit

ia,b,c)h °)\] = {a',b\c')

et elle exprime que (a, b, c)["' °) est équivalente à (a', 6', c').

Or les tableaux /°'* ^ ) satisfaisant aux conditions (4) sont en

nombre limité (I. 296). (Ce nombre est égal à la somme des diviseurs de m).

On les formera tous puis on formera tous les produits (a, b, c)

("^ - j et on verra si l'un d'eux est équivalent à (a', b', c).

On obtient ainsi une substitution 2 transformant / en /'. On a toutes ces substitutions par la formule A2 où A représente toutes les substitutions automorphes dey, ou par la formule 2A' où A' représente toutes les substitutions automorphes dey'.

33o THÉORIE Ui:S NOMBRES

Classe contenue dans une autre. — SI y contient J' n'importe quelle forme yi de même classe que/ contient n'importe quelle classe /i' de même classe que/'. En effet on a, par hypothèse

/.=/S //=/'S' J'=fz S et S' étant modulaires. Donc

ce qui démontre le théorème.

On pourra dire que ia classe dey contient la classe dey.

180. — Application de la théorie des formes quadratique» binaires à la résolution de l'équation diophantienne du second degré à deux variables.

Nous nous bornons au cas de A ;zf o (équation du genre ellipse ou du genre hyperbole (n"' 120, 123)). On a vu (n° 123), qu'une telte équation se ramène à

ax'^ -h bxy -f cj^ = m.

Nous supposons de plus A non carré parfait.

11 suffit de trouver les solutions primitives (n" 124). La question peut alors être posée ainsi : Une jorme donnée (a, b, c) peutelle représenter d'une façon primitive un entier donné m?

Théorème I. — Pour qu'un entier m soit représenté d'une façon primitive dans une classe C il faut et il sujfit qu'il existe dans C une forme dont le premier coefficient soit m.

Cette condition est nécessaire. En effet, soit (a, b, c) une forme de la classe.

Par hypothèse il existe deux entiers a, y premiers entre eux teis que

aa'^ H- fcay -+- cy^ = m.

Prenons deux entiers ^, â' tels que aâ — ^Sy = i et faisons sur (a, b, c) la substitution (" H, nous obtenons une forme de même

classe que (a, b, c) et dont le premier coefficient est m.

Cette condition est suffisante. En efftt soit {m, n, p) la forme appartenant à la classe en question et dont le; premier coefficient est m. Elle représente primitivement m pouc a; = i , y = o.

Théorème II. — Pour qu'un entier m soit représentable d'une

APPLICATION A l'aNALYSE DIOPftANTIENNE 33 1

façon primitive dans tune des classes de déterminant A il faut et il sajfit que la congruence

(5) x^ + px j — - ^E o (mod m)

soit résoluble.

Celte condition est nécessaire. En effet si m est représentable d'une façon primitive dans une classe de déterminant A il y a dans cette classe une forme dont le premier coefficient est égal à m ; soit (m, an + p, p) cette forme. On a

d'où

n^ -^ pn -, — ° ^ o (mod m).

(se rappeler que p^ = o)

Donc la congruence (5) est possible.

Réciproquement, si cette congruence est possible, soit n une solution. En posant

n^ -\- on ; — - —

mp

on voit que la forme [m, 2n + o, p) a comme déterminant A et qu'elle représente primitivement m pour x = i, y = o.