Recherche des solutions primitives de

(6) ax^ -h bxy -+- cj* = m.

D'après ce qui précède, pour que de telles solutions existent il faut

d'abord que la congruence (5) soit résoluble.

Si cette condition est remplie, soient no, aii, ... les solutions et

soient

o A — 0 , A — p no*-+-pAio 7—^ ii'H-p"i T —

Po = — Pi= — ■"

L'entier m est représentable primitivement dans les classes auxquelles appartiennent les formes [m, 2 Mo -+- p, pv)r (m, a^i -h p, pi), ... et dans celles-là seulement. Il faut donc voir celles de ces formes qui sont de même classe que (a, 6, c). Si

aucune ne satisfait à cette condition l'équation proposée est impossible. Si, au contraire, il y a de ces classes par exemple celle de (wo, 2/I0 -f- P, po) satisfaisant à celle condition ; soit

(^ ^A une substitution modulaire transformant (a, 6, c) en

{m, 2/2o -+- p, po) on a la solution primitive x = a, y = 7, de l'équation (6) ; et l'on obtient ainsi toutes les solutions. Reste à voir si on obtient plusieurs fois la même.

Théorème. — Deux solutions de la congruence (5) identiques au module m près donnent la même solution de ^équation (6).

Réciproquement deux solutions de la congruence donnant ta même solution de Inéquation sont identiques au module m près.

Soient «0 et n^ + ml deux solutions de (5) identiques au module m près. La valeur de p correspondante à no est

Po=

Celle correspondante à Uq h- ml est

(no + /nX)2 + p(/Jo -i- ml) ^

m ou

Pf, 4- (sHo -f- p)X -+- mX^.

La valeur /)o conduit à la forme

^ = (m, 2^0 -h p, po).

La valeur po + (s/îq -h p)X H- m}}, à la forme

cp' z= [m, ano 4- p H- 2m)>, (po + 2^0 -f- p)l -+- mX^l.

Or on passe de o h (p' par la substitution modulaire ( j.

Donc si l'on passe de la forme (a, b, c) k (f par la substitution /" ''A, qui donne comme solution de (6) x = 7., y = y, on

passe de (a, b, c) à ç' par la substitution (^ '^) ( ' ) °^

(* *^ ^) qui donne aussi comme solution £c = a, y = 7.

APPLiCATio.x A l'analyse diopha>tie>.ne 333

Réciproquement, supposons qu'une, même solution a, y, soit donnée par deux racines /îq et n^ de la congruence (5). Soit

y n la substitution qui transforme (a, b, c) en {m, 2/I0 -+■ 0, po)