DIFFÉRENCE DE DEUX NOMBRES

20. Soient deux nombres différents a: et y; soit x<^y. Considérons tous les couples de nombres rationnels (a, b) vérifiant les conditions

(1) ar<a<6<t/,

et formons les différences b — a; ce sont des nombres positifs dont Tensemble A est borné ; car il y a des nombres rationnels a, p, tels que a<ar, y<?>, et toutes les différences b — a sont inférieures à p — a. L'ensemble A a donc une borne supérieure, qui est un nombre positif X.

Dans le cas où a? et t/ sont rationnels, parmi les couples (a, b) vérifiant (1) se trouve le couple a = x, b = y^ et la différence correspondante y — x est supérieure à toutes les autres différences de A. On a donc dans ce cas

Dans le cas où x et y ne sont pas tous deux rationnels^ nous conviendrons de définir leur différence par les équations (2).

Si a: = y, nous posons

Ainsi, étant donnés deux nombres quelconques, la différence de ces deux nombres est parfaitement définie.