Si on remplace a par un nombre a' tel que a

Valeurs approchées d'un nombre 23

k étant entier et > l, on reconnaît que dans la suite qui remplace (l), soit

figurent les termes de (1)^ en particulier na et (n + l)a, de sorte que la valeur approchée par défaut à a' près de X, n'a', est au moins égale à na; de même, (n'-i-i)a' est au plus égal à (n -h i)a.

Prenons une suite de nombres rationnels positifs si, a^, ..., a„, ... tels que les quotients — > — ? ...,

soient des entiers supérieurs à 1: /^i, ^s> •••9 ^n» •••; ( On peut prendre par exemple «n = -77^- ) • I^^lï^s ces conditions, a„ tend vers quand n croit indéfiniment, car

finit par être inférieur à tout nombre positif donné.

En désignant par (i„ et v^ les valeurs approchées de X à a„ près, par défaut et par excès» on a

(i) Wi < Wj < . . . < w„ ^ . . . ,

(3) Un<,y^< Vn,

Si on désigne par \l la borne supérieure des w^,, par v la borne inférieure des v^ on déduit de (3) :

Je dis qu'on ne peut avoir tx<v, car alors soient deux

24 VALEURS APPROCHÉES d'uN NOMBRE

nombres rationnels a, by tels que

HL<a<6<v;

prenons n assez grand pour que

On a Un<a<:b<^Vn,

d'où

ce qui contredit (4).

Ainsi on a fJ^ = '^»

d'où

X = (Jl = V.

Ainsi X est la borne supérieure des nombres u„ et la borne inférieure des nombres Vn ; c'est aussi, par conséquent, la limite commune des deux suites (1) et (2). Donc :

Tout nombre peut être considéré comme la limite d'une suite de nombres rationnels non décroissante ou non croissante.

Si X est irrationnel, aucun nombre w„ n'est égal à X.

19. Si X est un nombre^ et si e est un nombre positifs on peut trouver deux nombres rationnels a et b tels que

En effet, prenons d'abord un nombre positif rationnel r^ < e.

Si X est rationnel, on prendra a = X — —> 6 = X-+--— •

Si X est irrationnel, on prendra pour a et ô les valeurs approchées de X à t) près, par défaut et par excès.