PRINCIPE D'EXTENSION

35. Soit /{Xyt/y ...) une fonction d'un ou plusieurs arguments rationnels, supposée uniformément continue dans tout champ borné où elle se trouve définie. (C'est le cas,

d'après les §§ 32, 33, 34, pour a? -4- y, x — y, ary, — ) .

Un point (ar, r/, ...), rationnel ou non, peut avoir la propriété d'être intérieur à un champ dans lequel f est définie. [Cette condition est remplie par tout point (a:, y) dans le cas des fonctions ar-i-y, x — y, xy; par tout point (^r, y) pour

lequel y ^0^ dans le cas de — Nous allons définir une

fonction F(ar, y, . . .) qui sera définie en tous les points possédant la propriété précédente, qui sera égale à /"(a:, t/, ...) en tout point rationnel où f est définie, et qui sera continue (§ 29) dans tout champ où elle se trouvera définie.

Soit (xo, I/o. . . .) un point possédant la propriété indiquée : il y a donc un champ borné C auquel (xq, yo» • • .) est intérieur, et tel que f est définie et uniformément continue dans C.

On peut trouver une suite de points rationnels tendant vers (^0, 2/0, ... ), soit

Du fait que (xq, i/o» •••) est intérieur au champ G résulte que, quand n dépasse une certaine valeur, le point (ar„, t/nj . . ) appartient au champ C ; nous supposerons que cette condition est remplie pour tous les points de la suite (1).

PRINCIPE d'kxtension 37

l** Je dis que la suite de nombres

(2) f(Xi, J/l, . . .), f{Xu yt, . . .), . . . , f(Xn, yn, ...),...

a une limite. Pour le prouver, rappelons que, à e > correspond a > tel que, pour deux points rationnels du champ C :

(a?, y 9 . . .)? (x'y !/'» • • Oj les conditions

entraînent

On a

lim Xn = a?o, lim j/n = t/o,

Appliquant le Théorème I (i*») (| 23) aux suites (en nombre fini) Xn9 j/„, . . . , on voit qu'à a correspond un entier p, tel que, pour fx > p, v > p, on a

6t par suite, d'après (4),

I A^v^ Vpi, . . ')—f(x., !/v, . . .) I < e.

D'après le Théorème 1 (S*»), comme e est arbitraire, Cela signifie que f(Xn9 t/nj . . . ) * ^^^ limite X.

2° Je dis que la limite X n'est pas changée si on remplace la suite de points (i) par une autre suite de points rationnels du champ C tendant aussi vers (j?o, yo, . . .)» soit

(^15 !/i5 . • Os (^85!/«--.)» •..> (^nj^nj-..)»

En eflfet, d'après le Théorème II (!*•) (| 24), des conditions lim Xn = .To, ( lim t/n = //o?

lim < = xo, ( lim y'^ = t/o,

on déduit que, quand n dépasse une certaine valeur jo, on a

et par suite /

I fi^^n, yn. . . .) — /«» !/n. . . .) | < £•

BAIBE. — NOMBRES IBRÂTIONNELS . 3

38 PRINCIPE d'extension

D'après le Théorème II (2"), cela signifie que /"(ar^, y;, ...) tend vers la même limite que flxn, yny . • .)» c'est-à-dire vers X. Ainsi X ne dépend que de (Xq, t/o» • •)•

3° Quand (xo, j/oi • • . ) est un point rationnel, on a X = /*(aro, Vo» . . .)• l' suffit, pour vérifier ce fait, de supposer que tous les points de (1) sont identiques à (opo, t/o, ...): la limite de (2) est alors /*(a?o, j/o, . . ).

On reconnaît ainsi qu'une fonction devant remplir les conditions imposées à F doit nécessairement, au point (a?o, yo» ...)» avoir pour valeur X. Nous poserons donc F(a?o, yo> . . .) = X.

Je dis que F a la propriété suivante :

4"" e et a ayant la même signification que plus haut, pour deux points (a?, y, ...), (a?', y',...) ^u^/con^ues du champ C, les conditions

entraînent

Si 0? 7^ x\ prenons une suite de nombres rationnels a?!, 072, •..» 3Cny ... compris entre x et x' et tendant vers a?; prenons de même une suite de nombres rationnels x\^x'^^ ...^ a?;», ... compris entre a: et a?' et tendant vers ar'. Si ar = ar', prenons une suite de nombres rationnels ari, x^^ ...» Xn^ ... tendant vers X et tous contenus dans Tintervalle de variation de x relatif au champ C ; prenons Xn = x^* On a ainsi dans tous les cas

En opérant de même pour chacune des autres variables y» •.., on obtient deux suites de points rationnels appartenant au champ C:

(«^1» yi» •••)> v'^'â» yî> •••)> •••» \^ny Uny •••)5 ••• V^l*!/l> •••/> yp^yV^y •••)} •••> \^ni yn» •••)» •*•

PRINCIPE d'extension 39

ayant respectivement pour limites les points (a?, t/, ...) et {x\ y', • . . ), et tels que

On a donc, quel que soit n.

D'après le Théorème IV (|26), le premier membre a pour

limite le nombre | \im f{xn9 yn, ..) — lina fi^n^ y'n^ ...) I, c'està-dire I F(a?, j/, . . .) — F{x\ t/', . . .) |. Donc

(6) |F(a?,î/, ...)~F(a?', j/', ...)Ke.

Cela étant, la fonction F(a:, y, . . . ) est continue dans tout champ où elle se trouve définie; car, soit une suite de points quelconques

\^i9 yi9 • • • j» (*^2> 2/25 • • • jî • • • 9 y^n9 yny • • • j? • • •

ayant pour limite le point (a:, t/, . . .). Supposons F définie en tous ces points. Prenons un champ G auquel (ar, y, ...) soit intérieur. Soit e > ; déterminons a de manière que les conditions (5) entraînent (6). Quand n dépasse une certaine valeur p, le point {xn, y m ...) est intérieur à C, et d'autre part on a

d'où, par suite,

I F(ar, y, . . .) — F(arn, t/n, . . .) K ^

ce qui montre que F(irn, j/ns • • .) a pour limite F(a?, j/, . . .).

On voit en résumé que le problème proposé est résolu et conduit à une fonction bien déterminée . On dira que cette fonction F est la fonction f étendue^ et le procédé qui permet, en partant de /*, de définir F, sera appelé principe rf'ea^fensfon.