III. X fait partie de B', par suite de B; on a

ar>>X, ar>X'.

Par définition, nous dirons qu'on a

30 II y a dans A un nombre qui n'est pas contenu dans A'. Ce cas ne diffère du précédent que parce que les rôles des nombres X et V sont permutés ; nous dirons qu'on a

De cette étude et des définitions données, il résulte que, si X et X' sont deux nombres irrationnels :

Pour que X = X', il faut et il suffit que tout nombre rationnel inférieur à l'un de ces nombres soit inférieur à l'autre; Pour que X < X', il faut et il suffît qu'il existe un nombre

rationnel a tel que

7 . L'ensemble des nombres réels est ordonné, c'est-à-dire que, si X, [1, V, sont trois nombres réels tels que

on a X < V.

Ces faits se trouvent établis : 1® dans le cas où les trois nombres sont rationnels (| 1) ; 2<> dans le cas oii un seul des trois nombres est irrationnel (§ 5) ; 3° dans le cas oii le nombre intermédiaire est rationnel, les autres étant tous deux irrationnels (I 6) ou non (| 5). Dans le cas général, prenons deux

nombres rationnels a, 6, tels que

X<a, a<fA, l^<à, 6<v.

De a<^iiy ii<,by on déduit a<^.

De a<;ô, 6<;v, on déduit a<v.

De X < a, a < v, on déduit ^ •< v.

Entre deux nombres réels différents existent des nombres rationnels; cela est vrai quand les deux nombres sont rationnels (1 1), quand Tun des deux est rationnel et l'autre irrationnel (1 5), et enfin quand ils sont tous deux irrationnels (| 6). Entre deux nombres réels différents existent aussi des nombres irrationnels : on prend d'abord, entre les deux nombres donnés, deux nombres rationnels a et b; le second exemple du |3 montre qu'il y a entre a et 6 un nombre irrationnel.

8. Les nombres irrationnels supérieurs à sont dits positifs ^ ceux qui sont inférieurs à sont dits n^^a/i/^. Soit X un nombre irrationnel positif; soient A et B les première et deuxième classes correspondantes. Appelons A' l'ensemble des nombres opposés (*) à ceux de B^ B' l'ensemble des nombres opposés à ceux de A : on a ainsi une coupure, la première classe A^ n'a pas d'élément supérieur à tous les autres, B' n'a pas d'élément inférieur à tous les autres ; il y a donc un nombre irrationnel X' supérieur aux nom*bres de A', inférieur aux nombres de B'. Comme est contenu dans A et par suite danà B', X' est négatif. Nous dirons que V est le nombre opposé à X. On écrira

on dira, comme pour le cas des nombres rationnels, que X et X' ont pour valeur absolue commune X :

Il est évident que X = (x entraine — X = — [jl, que X <; (ji entraine — [jl < — X, quels que soient X et [ji.

(^) On emploie aussi Texpression « symétriques », ou encore « égaux et de signes contraires •>.

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