Ba' + W

a ses termes tous positifs et est uniformément convergente. De plus tous ses termes sont des fonctions harmoniques tant ii l'intérieur quit l'extérieur de S. ]3onc sa somme, en vertu du

3o4 THÉORIE DU POTESTIEL AEn'TO.XfEy

théorème de Ilarnack, est une fonction harmoni<[ue dans le même domaine.

On peut dire la même chose de la somme de la série :

puisque celle-ci est une constante.

En définitive, W est une fonction harmonique en tout point de Tespace qui n'est pas situé sur S.

145. Reprenons le cas où ), a une valeur (jucloonque et voyons ce qui arrive ([uand le point x, y, z tend vers un point M„ de S en restant toujours à l'extérieur de S.

Dans ce cas, on a :

lim Wi =^ \\

par définition. ^lais :

D'où :

limW„=U„-cI>

lim^^^ = Ui — IV

La série :

(U„- ^) +). (U, - uj + ... + A'(U^ - u,,)+ ...

est convergente. D'autre part, la série :

est elle-même uniformément converoonte. On conclut de l;i

li,nW=Y)'(Ui — Ui,),

en vertu d'un théorème bien connu de la théorie des séries. Tout ce qui précède suppose :

n/: SOLUTION dc riionikME de diiuciilet 3o5

(!el;i s';ij»pli([ue si A est égal ii l. Dans ce cas, la sc'i'ic :

se réduit à :

c'est-;i-diie ii la lonclion dt)iiiu'i' 'I> chaiioéc de signe. (Jn a d<jnc :

llm W = — (I),

quand le point x, y, z tend vers un point de S en restant à rcxtérieur de cette surface.

Comme la fonction 'I> est arbitraire, on voit cpie le prohlème de Diric/i/e/, en ce f/i/i concerne le donuiine T extérieur à S, est co/nplèlenienl résolu .