V = AV + C

Il est clair ([ue Y est encore une fonction harmonicjue dans T. Mais, cette h)is, on a :

limY;=(I>.

(|uand le point x, y, z vient se placer sur S.

D'autre part, AV est le potentiel en un point intérieur à T d'une douhle couche portée par S. Or la constante C peut aussi être

RESOLITIOS DU PROBLEME DE DIItlCIII.ET io-j

regardée comme le potentiel en un point cl»' T Junc «loiihle couche homogène portée pai- S. Donc W -\~ C est encore un potentiel de double couche.

Le prohll'uic intcriciir de Diriclilct est donc résolu dans tons les cas (in Dioijen d'une double eonclie portée j/nr S.

148. Passons maintenant au probli'me extérieur. Nous allons voir que la même conclusion ne subsiste plus : si C est différent de zéro, on ne peut plus résoudre le proldème en question en se servant seulement d'une double couche jjortée par S.

Tout d'abord, il est clair que Ton ne peut plus employer Tartilice qui a conduit à trouver la solution générale du problème intérieur. En eflet, il est toujours possible de lonufr la fonction harmonique ^V qui tend vers <I> — C quand on s'approche indéliniment de S par l'extérieur. La fonction \\ -(- (^ vérilie bien encore l'équation de Laplace. Mais ce n'est pas une l'onction harmonicpie, car elle n'est pas régulière ii l'infini, W l'étant et (1 étant une constante. De plus, il est exact que W est un potentiel de double couche ; mais la constante (] ne peut pas être regardée ici comme le potentiel en un point extérieur d'une doul)le couche homogène portée par S, car un tel potentiel est nul ilans tout l'espace extérieur ii S.

D'ailleurs nous avons vu i^i 135 (ju il existait une condition nécessaire pour que le problème extérieur de Dirichlet soit résoluble par le potentiel newtonien d'une double couche de matière attirante répandue sur S. Or:

est une condition sullisante. C'est alors la condition nécessaire et suflisante en question.

Voyons donc comment la méthode de Xeumann permet de résoudre le problème extérieur de Dirichlet quand la constante (] n'est pas nulle.