Reniarquons ([ue l'on a

dV,. . ^dV^, dn dn

à cause des propriétés des potentiels de doubles couches. Donc :

Wi + Wi-, et:

sont les valeurs d'un même potentiel de simple couche prises en un point extérieur à S pour ^^|^-^^l l et en un point intérieur pour Wi — Wi i-

Appelons T; ce potentiel et considérons les séries qui donnent la solution du problème de Dirichlet tant intérieur qu'extérieur.

Dans le cas du problème intérieur, on doit faire :

D'où

^v = [\\\ — w,: + \y, — \\\] + . . . + (wv » — M\] + . . .

c'est-à-dire :

3i6 rilÉORlE DU POTENTIEL AEWTOXIEX

l^ans le cas du prol^lème extérieur, on doit faire :

])'où :

>>■ = (^^'o + ^v j + (^^', + ys\) + . . . + (^^ ■ . + ^^^) + . . .

c'est-îi-dire :

Dans les deux cas, W se présente comme un potentiel de simple couche. Pour les deux simples couches envisagées, la densité est la même, au signe près.

Poussons un peu plus loin l'élude des fonctions T^.