Résolution d'un problème analogue à celui de Dirichlet

Soit une surface fermée S délimitant un douuiiue intérieur T et uu domaine extérieur T'. Nous ferons sur S les mêmes iivpothèses qu'il j)ropos de la méthode de Xeumauu. l'^nfin désignons par *\> une fonction continue donnée sur S.

I^roposous-nous de construire une fonction U telle que l'on ait :

AU = 0 dans T.

— i — = fl> sur S.

ni:soLUTioy nu l'Honr.kMi- de Diniciu.iyr Zii

11 rsl ch.ir que, si IJ est une s.,l.,li„n, U + C en est une autre, C étant une eonstante arbitraire.

D'mIx.hI, si V est une r„neli<.n ie,,„M<lanl i, I;, ,|u,.sli(»n, on a :

..'(S) cln ,,/t,

D'où :

/ (Pdt.j'=<

C'est là une condition évidemment nécessaire pour que I.- problème soit possible. Nous la supposerons remplie.

Imaginons une simple couche de matière attirante répandue sur S, la densité en chaque point étant :

Soit T le potentiel de cette simple couche. Désignons par T la valeur de ce potentiel en un point intérieur h S et par T' sa valeur en un point extérieur. On a , en tout point de la sur- (';ice S ;

et :

dT dT'

du dn

Soit maintenant W le potentiel d'une double couche portée par S. Appelons W et W ses valeurs respectivement en un p<,int intérieur à S et un point extérieur à S. On a :

et :

en tout point de S. Admettons en outre que l'on ait pu choisir la densité de la double couche de façon que l'on ait encore sur S :

POiNCARK. Potent. Newt.

Posons alors :

On a

dU dU'

du dn

sur S. Mais, dans les mêmes conditions, il est visible que :

Or U' est une l'onction harmonique à l'extérieur de S et régulière à l'infini. D'où :

à l'extérieur de S. Alors:

Par conséquent :

dU^

dU dn

D'autre part :

à l'intérieur de S. Finalement la fonction U résout le problème proposé.

158. Il reste un point encore à examiner. Peut-on déterminer un potentiel de double couche W par les conditions suivantes :

AW'=0 .... à l'extérieur de S.

W = T' . . . . sur S.

Nous avons vu qu'il n'en était rien. Dans nos études sur la méthode de Ncumann, nous avons reconnu qu'une condition était requise : une certaine constante Cl doit être nulle.

D'autre part, nous avons découvert une condition nécessaire pour la possibilité du problème actuel :

f (î)dto' = 0

RKSOLVriOy du problème de DIRICIILET 323

Comme :

('st la condition nécessaire et sullisante, c'est (jue les deux conditions :

C=0, r <I)do/=0,

sont équivalentes.

Donc, d'après notre hypothèse du paragraphe précédent, on peut certainement calculer W et, par conséquent, notre prol)lème est bien résolu.

159. Proposons-nous, pour terminer, de résoudre le même problème dans le cas où le domaine envisagé est constitué par la partie de l'espace extérieur ii S.

Nous devons avoir :

AU' = 0. . . . il l'extérieur de S.

<I> . . sur S.

Formons une simple couche portée par S et ayant pour densité en chaque point . . Soit T son potentiel. On a toujours:

dT dT' Cl 11 tin

sur S.

D'autre part, on peut, dans tous les cas, trouver une dwiible couche portée par S dont le potentiel W, défini et harmonique en tout point intérieur à S, tende vers — T quand on se rapproche indéfiniment de S par l'intérieur. Posons alors :

Sur S, on a Donc :

à l'intcrieur de S. Par suite :

Mais il est clair que

On en conclut :

dU dl7

dn dn

dU'

fl).

D'autre part, on a :

AU'=:0 à l'extérieur de S.

Le problème est donc résolu.

Ici il n'existe aucune condition de possibilité.

160. llevenons maintenant aux lonctions Tj considérées plus haut.

Xous voulons montrer que T, peut être regardé comme le potentiel d'une distribution quelconque dont la masse totale est nulle.

En ell'et on a, en reprenant les notatioiis du paragraphe 154:

D'après ce qui précède, nous pouvons choisir ^\\, d(> façon que :

j. — Il