dn

\x' étant une fonction arbitraire assujettie seulement à la condition :

La (onction initiale ^^'^, n'est pas alors un pofetilicl de double

ItESOLUTIOS DU PHOIILKME DE D I li I ( Il I. ET 3ij

couche. ^l;iis il est inimifesto ciue cela ne chaiiire l'icn ii nos conclusions au sujet des lonctions Tj.

161. (Considérons en dernier lieu le cas où Ton pari d'un potentiel T, coi-respondant ii une simple couche dont la masse totale M nest pas nulle.

On peut encore lornu'r la suite des lonctions T,.

Cela posé, supposons la masse M ri-pandue sur S à la façon d'une masse éuale d'électricité en équilibre. Soit P le potentiel dans ce deinier cas. On a :

Ai' = 0. . . . il l'extérieur de S. P = C'"" ... il lintérieur de S et sur S.

La densité- en cha([ue point est :

! dP'

D'où :

Il est claii- (pie l'opc-ralion (pii lait passer de Ti, ii T; laisse P invariable, puisque :

i / dP' dP \ 1 dP'

dn dn / 4- d

il cause de la constance de P \\ l'intérieur de S. Il est manifeste d'après cela que les fonctions :

se déduisent les unes des autres d'après la même loi que les fonctions Tj.

(Chaque fonction :

est le potentiel d'une simple couche dont évidemment la masse totale est nulle.

3i6 THÉORIE DU rOTESTlEL NEWTOMEN

On conclut de là que :

Ti — P

tend vers zéro quand i augmente indéfiniment. En d'autres termes, si la masse totale qui sert à former le potentiel n'est pas nulle, Ti ne tend plus vers zéro, mais vers P, c'est-à-dire vers le potentiel de la couche électrique en équilibre sur la surlace S.

Dans les mêmes conditions, la densité en chaque point de la matière attirante dont le potentiel est Tj tend vers la densité de la couche électrique de masse M qui serait en équilibre sur la surface donnée S.

C'est là le principe de la métliode de M. Bobi?t pour déterminer une simple couche sans action sur les points intérieurs à la surface fermée qui la porte. On dit quelquefois que cette méthode permet de trouver la distrihulion nalurcUc de l'électricité sur S.

CIIAIMTilK IX iiXTi:.\sio.\ Di:: j.A MÉTHooi: Di: .\i;i".ma.\.\

AU CAS Di:S DOMAINES SI.MPIJ:.Mi:.\T CO.X.NKXHS. Li:S KO-XCTIO.XS FO-\DAMi:.\TAI.KS

162. Énoncé. — Le chapitre VIII eontieiit un exposé de la méthode imaginée par Xeumann pour résoudre le problème de Dirichlet tant intérieur qu'extérieur. Nous savons l'importance de cette méthode, non pas peut-être pour établir le principe de Dirichlet — puisque la méthode du balayage sullit ii cet égard, — mais pour manifester l'identité des fonctions harmoni([ues et des potentiels newtoniens. 11 est donc intéressant de chercher à donner à la méthode de Xeumann toute la généralité possible. C'est ce que nous allons faire.

La preuve de la convergence des séries considérées par Xeumann n'a été faite jusqu'ici que dans l'hypothèse où la surface donnée S est convexe. Xous allons montrer que cette hypothèse n'est pas indispensable.

Le développement complet des considérations ([ui vont suivre serait trop long pour trouver place dans ce cours. On pourra le chercher dans un mémoire inséré aux.lc/rt Mathenialica en 1896. Xous nous contenterons ici d'un aperçu qui fasse entrevoir dans quel sens il faut chercher une extension de la méthode de Xeumann lorsqu'on a affaire à une surface S qui n'est pas convexe.

163- Hypothèses. — Xous considérons toujours une surlace fermée S délimitant un domaine intérieur T et un domaine extérieur T'.

Cela posé, voici quelles hypothèses nous ferons désormais sur fa surface S.

D'abord nous supposerons que cette surface possède en chacun de ses points un plan tangent unique et deux rayons de courliure principaux déterminés. Il est lacile de voir avec précision ce que nous admettons ainsi. Plaçons l'origine des coordonnées en un point de la surface ; choisissons la normale en ce point comme axe OZ et le plan tangent correspondant comme plan XOY ; plaçons-nous d'ailleurs en coordonnées rectangulaires. Soit alors :

l'équation d'une petite portion de la surface autour de l'origine. Notre hypothèse est que les fonctions :

dz' Oz'

c>V/ (Vz'

Ox'- ' ùx'Oy'

sont finies et continues dans le voisinage de l'orioine. Celle-ci du reste doit être un point quelconque de la surface.

Nous supposerons en outre que le domaine T limité par la surface S est simplement connexe. Cela signifie que toute surface fermée contenue dans T peut, par une déformation continue qui ne lui fait jamais rencontrer la frontière du domaine envisagé, se réduire à un point de ce domaine.

Enfin nous ne considérerons, comme fonction <I> donnée sur S, que des fonctions possédant des dérivées partielles de tous les ordres finies et continues.

Cela étant, nous aurons à nous appuver sur le principe de Dirichlet. Nous sommes donc obligrés de le reoaider comme

établi déjà indépendamment de la méthode de Neumaun, par exemple par la méthode du balayage. Dans ces conditions, notre but est seulement d'étudier la converaencc des séries de Ncu-

164. Rappel de certaines notations. — Soit W le potentiel newtonien d'une double couche portée par S. Si le point courant x,y, z tend vers un point fixe x', y', z' de S en restant toujours à

h\\T/:.\S/().\ DE LA MirrilODi: de SEIMASS 5iy

r«'xtéiieur de S. \\ a une limite ([lie nous a|)|)rl(»ns \ . Do même si x, v, z tend vers x, v, / en restant toujoui'S :i 1 intérieur de S, W a une limite ^ . l'-nfin la valeur de \\ (juaiid x. v. /. coïncide avec x', y', z' est bien déterminée ; c'est :

On sait que V nest pas égal à V.

Cela posé, la méthode de Xeumann consiste \\ construire une double couche satislaisant en tout point de S :i la relation :

A étant un païamètre arbitraire et <I> une l'onction donnée d«'s deux coordonnées qui fixent la [)osition dun point sur S. Posons :

Chaque fonction Wj est le potentiel d une double couche portée par S et l'on a :

On peut donc construire les Ibnctions W^ de proche en proche. Il reste alors à étudier la convergence des séries précédentes.

Il n'est pas nécessaire d'établir cette convergence pour toutes les valeurs de )>. On sait en eflet que la résolution des problèmes de Dirichlet intérieur et extérieur nécessite seulement la considération des deux valeurs :

et:

Finalement, nous pouvons nous borner à examiner le cas où A reste compris entre — A,, et H-Aq? a^ étant un nombre positif quelconque supérieur à l'unité.

Mo THÉORIE DU POTENTIEL SEWTONIEy

Si la surface S est convexe, le problème a été résolu. Nous allons montrer qu'il peut Tètre encore avec les hypothèses que nous avons laites. Cela peut sembler paradoxal, car les inégalités qui ont joué un rôle essentiel au chapitre VIII ne sont plus vraies quand la surface S n'est plus convexe. Néanmoins la méthode de Neumann réussit encore, et de plus il est probal^lc qu'elle s'applique même dans le cas le plus général.