Considérons maintenant l'égalité

Multiplions-en les deux membres par :

—, — doj cln

et intégrons en prenant la surface S pour cha'.np d intégration. On obtient la relation :

(1) Ji.k H" Ji.k "^^^ Ji - 1 k •'i-I, k-

On déduit de là, par permutation des indices :

(2) Ji.k+^:k=.ik.i, — -K.i-i.

Mais, si l'on applique la relation 1 au cas oii les indices ont les valeurs :

k+ 1 et i — 1,

on trouve :

[y) •'k + I, i — 1 \ Jk + 1, i — 1 = Jk,i-1 Jk,i — 1'

En comparant les lormules (2) et (3), on voit que :

■M.k I Ji.k ^= "'k + 1, i-1 1 Jk + 1, i- 1

OU bien :

en permutant les indices comme on a le di'oit de le iaire. D'antre part :

■li.k J^k =^ -'i + I, k 1 -'i + 1. k •

D'où :

■"i + I, k — 1 Ji ], k ~ 1 = "M + 2. k— 1 ~r" "'i + 2, k — 1 •

Mais :

"'i + J, k H~ Jj + 1, k ^= -'i + 2. k — 1 H~ Ji + 2, k T 1-

Donc :

Finalement, on peut écrire les deux relations :

•'i.k + -'i.k -= Ji - 1, k + i + Ji 1, k + 1

Ces relations sont valables pour toutes les valeurs des indices i et k.

On déduit de ce qui précède, par addition et soustraction :

^ï.k = •'i - 1. k + 1 Ji.k = •'i — 1, k + !•

D'où :

•'i.k =^ •'■ — I. k + 1 ^ -li — ;>, k + 2 = • • • = •'o.k + i •'i,k -"i - 1. k + 1 Jj 2, k + ;. ••• .lo,k + i-

On voit par là que les intc-grales :

.',.k, -lu ne dépendent en réalité que de la somme i + k de leurs indices.

r.\//:.\sf(>.\ m: i.a mi: m ode de .\EiM.i.\.\ ">)

Nous pouvons donc représenter ces int<''^rales par la notation

en ne faisant iisapre que d'un seul indice. Posons :

i + Iv = m .

La relation londanienlale (L) tlevient alors: