Supposons ni pair et posons
On peut alors éciire :
Ov
et
am'A^ïi'^rh
la première intégrale étant étendue à tous les éléments de volume dT du domaine T intérieur à S et la seconde à tous les éléments de volume dz du domaine T' extérieur à S. On a donc :
(^uant aux quantités
•' ip -r I 5 •' i\i + 1 y
on ne sait rien à priori sur leur signe.
.le me bornerai ii signaler les inégalités suivantes
lJ.„.iI<J.p
que l'on peut lacilement établir.
334 TIIKORIE DU POTEMIEL NEWTONIES
168. 11 est lacile de prévoir le rôle important que les quantités :
sont appelées ii jouer dans l'étude de la convergence des séries de Neumann.
Soit la série :
V, + ).V^ + V\^ + . . . 4- A' Vi + • . .
Supposons-la convergente et même uniformément convergente. Multiplions-en alors les divers termes par :
— j — d(o du
et intégrons. On obtient la série :
Cette série doit être aussi convergente. Donc le rayon de convergence de la série :
est le même (pie celui de la série :
ou du moins il ne peut le dépasser. Xous verrons que ces deux rayons de convergence sont égaux.
De même, les deux séries :
ont le même cercle de convergence. Alors ce cercle de convergence est aussi celui de la série :
tant il l'intérieur qu'il l'extéiieur de S.
et:
i:xTf:.\.sio.\ Di: la méthode di: m:um.\.\.\ {J5
Ce sont CCS aperçus qui oui amené ii poser ii pi-iori et ii étudier les Intégrales J,„ et J',„.
169. Soit ^^ le potentiel dune double couche quelcon(pie portée par S. Posons :
J = / > — i tuo
et:
j'=-rv4^dco
en renîar(piant que Ton a :
dV dV
an dn
en tout point de S.
On peut écrire :
«-'-.Tj
et:
-jj(^)-(4f)-(^)i-
Ces nouvelles expressions de J et de V se déduisent des preniières par application de la formule de Green. Il est clair que l'on a :
Si l'on prend :
on a :
et
