a-(sin-M' + cos-M' — p-sin- W
dT
2 t: Va- c'os" M' + (ir — p' ) siir U'
On peut donc poser, en se souveniml delà déiinilion de la Jonction '^ :
V = :i[a,v'a' — ?-]• Or, on a vu ([ue :
V=.p(MA,MB)='^(a-p,a + ?).
Donc :
cp ( a — p , a + p" = ^ [a, ^\r — f \-
Remarquons que a est la moyenne arithnK'ti([ue des deux ([uautités a — p et a + p et que \ a- — p- en est la moyenne géométrique; on peut donc écrire en général :
en posant
cp (a, b) = '0 (a,, b,) = -.p >„ bj = ... etc.
^ = V/ab,
etc. etc.
C'est là une propriété fondamentale de la fonction '^.
Remarquons cjue la moyenne géométrique est toujours intérieure à la moyenne arithmétique. Or, supposons a>b, ce qui est toujours possible, puisqu'on peut intervertir ces deux quantités sans changer la valeur de c; ; nous aurons :
a — b > aj — 1^1 > a^ — b^> etc. ;
■}8 THÉORIE DU POTENTIEL yEWTOMEN
Les clifFcronces a„ — b„ diminuent quand n augmente. Je dis qu'elles tendent vers 0. En effet, on a :
a, — l>i<«, — 1^ puisque l)j > b;
a, JJ = -; I) =
donc
de même
et
Ainsi la diirérence a„ — b^ tend vers 0 quand n augmente indéfiniment ; d'ailleurs, il est évident que les b croissent constamment et que les a décroissent; donc a„ et b„ opt une limite commune a ; on l'appelle moijenne arilhmètico-gèomèlrique des deux quantités a et b. De l'existence de cette limite, on conclut que, si a désigne la moyenne arithmético-géométrique de MA et MB, on a :
'ifMA,MB) =
L'analyse qui précède est due à Gauss. l'Ule donne, pour la valeur du potentiel V au point M :
si la masse attirante totale est prise pour unité ; mais, si cette niasse est exprimée à l'aide d'une unité arbitraire et si M est sa valeur, on a :
dOii la l'ègle suivante : on considère la plus grande et la plus
roKMii.i: iji: ciii.ex tv,
courte distance du point .M ii la clrconféience ; (mi chrichc la moyenne arithmético-géonu'tii([uc de ces deux nouïhres. Lo potentiel en M est le ([uolient de la niasse totale par cette moyenne.
19. Formule de Green. — Uevcnons ii la théorie générale du potentiel. Commençons par établir quehincs ioiiiuilcs dont nous ferons un fréquent usage dans la suite.
Soit un volume T limité par une surface IfrnK'c S; désignons par a, ,j, v les cosinus diicclciiis de la iioiinalc exti-rieure a la surl'acc S. Soit F une lonclion quelcon<[ue de x, y, z continue ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre dans le volume T ; soient euiin d-r un élément intinitt'slmal de 1" et d(-) nu (d(Muent de la surface S. On a les formules suivantes :
/'4^dT=raFdco
(1) (^A-. = ('pV.U.
les intégrales triples étant étendues au volume T et les intéorales doubles à la surface S. Chacune de ces formules se démontre sans peine à l'aide d'une intégration par parties.
Soient maintenant deux Jonctions Uj et V, assujetties aux mêmes conditions de continuité que F.
Posons
La première des trois formules précédentes nous donne :
jV.4X.a j;r,v,,,„-/V,^.h.
4o TUKOniE DU rOTEMIEL AEnïOA^EX
il vient :
Les deux autres lormules (1) nous donnent de même
ô-V , r .. OV , /' OV OU.
/".-^'•^-M-lf"-./
dT.
ùz dz Ajoutons membre à membre ces trois dernières relations
/Vcw i)u, ov (U\ ^^■^ j \7>r Ox ^ Ô^^ÔT""^ Oz "Ô7.^ *^'"
Si l'on pose pour abréger :
(^V ,, dY OY dV
Ox Ov ' Oz dn
