ÔY OU, OY OU, OY OU, V^ OY OU
dT,
Ox Ox Ov Oy Oz Oz / -i Ox Ox
on aura :
lormule bien connue sous le nom de for mule de Greeii.
On la met souvent sous une forme plus symétrique; on a, en effaçant les indices :
mais, en vertu de la symétrie des termes sous le signe 1 dans le premier membre, on a également :
FOHMri.i: i)i: (Ji{/:i:.\ 4i
Retranclions meinbrc à membre ces deux deniicies relations :
/(tuv v.u;a.=/(uiI-viH-)a.„.
Les ronclions U et V doivent être finies, eoiilimies et admettre des dérivées premières continues et (';<ralemeiit finies. l'Hles doivent avoir, en outre, des dérivées secondes finies et intégral)les ; les discontinuités de ces dérivées, s'il y en a, doivent se trouver sur une surface algébrique.
Les théorèmes sont encore vrais pour des aires planes limitées par des contours fermés. On les exprime de même, en remplaçant les éléments de volume d-: ])ar des éléments de surface et les éléments de surface doj par des éléments du eonlour envisagé ; les intégrales triples deviennent doubles ; les doubles deviennent simples.
20. — Replaçons-nous dans l'espace à trois dimensions et faisons U==i dans la formule de dreen ; elle deviendia :
J J dn
Faisons maintenant U=V, au lieu de U=l : la formule de Green donnera :
Si, en outre, U satisfait à l'équation de Laplace AU ^ U, on obtiendra finalement :
ce qui nous montre que l'Intégrale / U - dw est positive. Ces
J dn
formules seront utilisées dans la suite.
Tous les théorèmes que nous venons de démontrer s'appliquent à des volumes connexes, quel que soit leur ordre de con-
Il TIIFOniE DU POTEXTIEL yEWTONIEy
iiexion ; ils s'appliquent, par exemple, èi un volume doublement connexe comme celui qui est compris entre deux sphères concentriques ; mais, en appliquant les formules, il faut bien prendre oarde au sens de la normale extérieure ; dans Texemple cité, le volume est limité par les surfaces des deux sphères et les intégrales de surface doivent être étendues aux surfaces de ces deux sphères ; le sens de la normale e.rtcricure sur la grande sphère est celui de la portion de normale qui sort de la sphère ; au contraire, sur la suilace de la petite sphère, la normale extérieure au volume T est dirigée vers l'intérieur de la cavité, car c'est la direction dans laquelle on sort du volume T considéré.
21- — Comme application des considérations précédentes, prenons pour volume T le volume compris entre une sphère S de rayon a et une sphère S' concentrique à la précédente et de ravon p > a.
I^crivons la lormule de Gr.een dans ce cas :
:^) }^^'^+^VIr^'-i'
(UI OV , /\, dV , -j — d(o dn
L'intégrale du deuxième membre est étendue à chacune des
1 ICC- '^^' V -
deux sphères h et b ; mais— j — est, d après ce que nous avons
on
dit, la dérivée suivant la normale extérieure à S et la dérivée suivant la normale intérieure à S. Si nous prenons ces dérivées suivant les normales extérieures, dans les deux cas nous écrirons :
r,. dV r dV /' dV
/ L — j — dto =^ / L — j — tUo — I L — j — dw,
J dn J,s., dn ^/(Sj <^in
la première intégrale du deuxième membre étant étendue à la surlace S' et la deuxième à la surface S.
Supposons (pie, si p augmente indélinimenl, lintégrale,
c'fS') dn tende vers zéro. Alors l'égalité (1) se réduiia à :
J J jLu t)x Ox c'(S) dn
l'OLY.\OMi:S DE Li: CES DUE
dette circonstance se présente (juaiul les fonctions l" d \' sont des potentiels dns, le premier à une masse M, l'autre ii une niasse M , répandues dans des volumes, sur des surfaces ou des lignes, in;iis contenues l'une et l'autre à l'intérieur de S.
Montrons, en eflet, que. dans ce cas,
L — i — dw, dn
tend vers zéro.
Pour cela, considérons la masse attirante totale M qui donne lieu au potentiel U; dans cette masse totale, il peut y avoir des masses positives et des masses néfçatives; appelons M, la somme des piemières et — M, la somme des secondes : on a :
Séparons, de même, dans la niasse totale M (jui corresponil à \ . les masses positives des négatives :
Soit, maintenant, P un point de la sjihère S ; on a en ce point :
"chT
et. par suite,
dy
I l -r- doj
J du
M'. + Mv M, + m;
M, + MV M. + Mj .,
Cette inégalité montre bien que l'intéo-iale / U -r- dto tend vers ^ ^ ^ J dn
zéro quand z augmente indéfiniment.
22. Polynômes de Legendre. — Soit ^ un potentiel dû à des masses attirantes quelconques.
Je suppose loriglne des cooràonnée?, extérieure \\ ces mas„?s ; on peut donc tracer, autour de l'origine prise comme centre, une sphère X tout entière extérieure aux masses agissantes. Nous nous proposons de démontrer la proposition suivante :
En tout point situé à /'intérieur de lu sphère ^, la fonction V est dés'eloppable en série de pohjnonies /lonioiiènes en .r, y, z.
Cette démonstration repose sur le développement de l'expression
v'i — 2pcos Y+ f
suivant les puissances croissantes de p. Commençons donc par effectuer ce développement.
11 sera de la forme :
Or, on a :
1 2 p cos Y + f= (1 — pe^ï) (1 — pe- 'r ),
A=(l pe'rr-^-(l-pe-"v)-f.
De plus on a, si | p [ est inférieur à 1 :
(2) (i p;rT i
Tous les coellicients de ce développement sont réels et positifs. On a en outre :
;i— pe'r) 2=i + peir +
Ces développements résultent du développement (2), car, si | p f est égal a 1, \ pc'' | est aussi égal à 1. De plus, ces trois séries
POLYSOMES DE LEGESDRE
sont absolument convergentes ; on peut nnilliplier les deux dei-' nières menihie ;i membre et «'crire
en posant
(1 — 2 0 cos Y + f) ' =y apa„c'ï!-''' p""''' 1.3 (2p — 1)
Comparons les formules l) et (3); ou en tire
le signe S portant sur Tensemble des termes pour lesquels la somme n -[- p a la même valeur.
Les a étant réels et positils, le maximum de P„+|, a lieu pour Y = 0 ; on en conclut :
Or faisons *' ^ 0 dans l'expression de A ; il vient :
On a donc
le signe S portant comme plus haut sur l'ensemble des termes tels que n + p = C'^ Bref on a :
Pn
l'égalité ayant lieu pour v = ().
Cela posé, supposons p > 0; la série
THÉORIE DU POTESTIEL yEWTOMES
est convergente pour | p | < |- Calculons l'erreur commise quand on arrête le développement au (n -|- 1)" terme ; posons :
l'erreur cherchée est moindre que [RJ ; or :
I Rn I <P''^' + P"^^+ ,
c'est-à-dire :
Les coefficients P sont des polynômes entiers en cos y ; leur degré est égal à leur indice ; P„ est de degré n. Ces polynômes sont connus sous le nom de polijnomes de Lcgetich-e.
Les polynômes de Legendre sont alternativement pairs et impairs en cos y. Povir le voir, il suflit de changer, dans A, y en V -(- t: et p en — p ; A ne change pas et, par suite, un terme
ï'ig- 19-
quelconque P„p" de la série reste le même; donc P„ ne doit pas changer de signe et, par conséquent, doit être pair, si n est pair; il doit, au contraire, changer de signe, et par suite, être impair en cos y, si n est impair.
23. Développement du potentiel new^tonien en série de polynômes sphériques. — Les considérations ({ui précèdent vont trouver leur application dans l'élude du potentiel newtonien.
Di: \/:i.oi>i>i:M/:yT e.\ skrii: de poi.ysomes sriiE riqles .\-
Soit I un Noliimc ;iUir;iiil et () I (tiigiiic des coordoiiiK-cs, sii|»posro oxkM'ieure ii ce volume ; ou peut lincer uue sphère ;iv;iiil le point 0 pour centre et tout entière extérieure \\ T i fig. lid.
Soiiîut, eu outre. P un point iittirnnt quelconque du volume T et M un point situé à 1 intérieur de ];i sphi're. Appelons x, v, z les coordonnées rectilignes et p,0,'i les coordonnées polaires de M : x', v', z' et o', fj', 'i' les coordonnées rectiligues et les coordonnées polaires de V ; enfin r la distance Mi^ et v langleMOP. Ou a les relations suivantes :
r- = 'x' — X - -f- v' — v"--|- yJ — 7. - -^= z'- — 2 00' cos •' -)- 0-. cos *' = eos 0 eos 0 -(- sin 0 sin 0 cos 'i — 'i' ,
p'- = x'- + y'-+z'-, oo'cos "' ^ xx'-(- yv'-j- zz'.
I,e potentiel iiew tonien \ en M a j)()Ui- expression :
c'est une Fonction des coordonnées z, 0 et tp de M ; proposonsnous de développei' cette lonetion suivant les puissances croissantes de c ; on a :
= "■-' 2^2 COS-'-hO-, - ;= — p. ,
cos
Keportons-nous au développement du paragraphe précédent ; on peut écrire :
et Ion a
cest-à-dire
Si a désigne le rayon de la sphère, on peut toujours construire une autre sphère de rayon îa, s étant < 1, telle que le point M soit à son intérieur. On aura :
p < sa < a < p'
et, par suite,
On voit que R„ tend vers 0 quand n augmente indéfiniment quelles que soient les positions du point P a l'intérieur du volume T et du point ^1 à l'intérieur de la sphère de rayon sa. La série (1) est donc uniformément convergente dans ces conditions et l'on peut l'intégrer terme à terme. On a par suite :
'P.pdT'
Considérons P„p" ; c'est un polynôme entier homogène et de degré n en x, y, z. En effet, d'après ce que nous avons dit au paragraphe précédent, P„ est un polynôme entier et de degré n en cosv.
Or on a
xx' + y v' + zz' x:
de plus, P.^p est pair en cos y et P,p + i est impair; P,p est donc entier et de degré n par rapport à
x^ + y^ + z^ et p-f" Pgp est entier, homogène et de degré p par rapport à
ij/-:vEfA)pr/:Mi:.\T e.\ skii/k uk pousumes sr/iÉniQUEs 49
(xx' -(- yy -h zz'i' el X- -|- }' + z" et, p;ir suite, cntici,, h(mionriir et de degré 2p par rapport ii x, y, /,. (^iiaiit ;i l*.,|, . ,, il est entier et de degré 2 p -j- 1 par rappoit ii :
V'x^4-v--hz-
il est doue égal au produit de cette expression par un polynôme entier et de degré p par rapport à
• (xx'4-yy' + zz7
enfin le produit P,j, ^ , p-p^' ne contient plus de radical et est homogène et de degré 2p -|- 1 en x, y, z. 13ref, quelle que soit la parité de n, P„p°est un polynôme entier, homogène et de deffré n en x, v, z.
Si l'on considère alors le terme général de la série (2)
on voit que ce terme est aussi un polvnome entier en x, v, z, homooènc et de deoré n.
On démontre en outre que ces ])olynomes X„ satisfont à Téquation de Laplacc
