Posons maintenant

a et ,3 étant deux paramètres réels laissés indéterminés pour le moment et d'ailleurs indépendants l'un de l'autre.

336 THÉORIE DU POTESTIEL NEWTOMEX

Vovons ce que deviennent J et J' clans notre nouvelle hyjjothëse. On a d abord :

J s dn

c'est-à-dire :

si l'on remarque que :

dV„,, , Ç^. dV,

De même :

./,3i ' dn J-s. dn '

l'sj dn l' s \ du ' dn /

Finalement, on peut écrire :

11 résulte de lii que .1 et J' sont des lormes quadrati([ues définies positives des variables a et [j. On a donc, en considérant leurs discriminants :

Ces inégalités sullisent pour monti'cr ([ue les séries : et :

EXTEASIOy DE LA MÉTHODE DE yEUM.iX.X 33;

sont convergentes pourvu que l'on ait :

lAl<l.

Mais on ne peut encore rien dire du cas où A est égal ii ± 1.

171. Le rapport-^. — l'itudions le rapport -^ pour les différentes fonction ^V qui sont des potentiels de double couche. Supposons que Ton ait :

Alors c'est que W se réduit à une constante dans T. Dans ce cas, W est le potentiel d'une double couche homogène. Par suite, W se réduit à zéro dans T'. Donc :

Ainsi réoalité :

entraîne l'égalité

On veri'ait de même que l'égalité :

entraîne Fésalité :

Ainsi, dans le rapport

le numérateur et le dénominateur ne peuvent pas s'annuler l'un sans l'autre. On conclut de là f/i/e ce rapport ne peut devenir ni nul ni infini. Il a donc une limite supérieure finie et une limite inférieure dilï'érente de zéro.

Ce qui précède n'est qu'un aperçu dénué de toute rigueur, car le rapport en question, par exemple, pourrait, sans s'annuler, être susceptible de prendre des valeurs plus petites que toute quantité donnée, auquel cas sa limite inférieure serait zéro.

POixcARÉ. Potcnt. Newt. 22

338 THÉORIE DU POTEXTIEL NEWTOMEX

On peut, d'une façon pleinement rii^oiireuse, assigne?- à — - une

linii/e supérieure finie et une limite inférieure diflérenle de zéro. Nous nous contenterons d'énoncer ce point, dont on trouvera la preuve complète dans le mémoire déjà cité des Acta Mathematica .

C'est dans la démonstration de la proposition précédente qu'intervient celle de nos hypothèses en vertu de laquelle le domaine T est simplement connexe. C'est également pour faire cette démonstration que l'on doit supposer le principe de Dirichlet établi indépendamment de la méthode de Xeumann.

Quoi qu'il en soit, nous admettons désormais que l'on peut trouver un nombre a satisfaisant aux inégalités :

0<[JL<1

et tel que :

quelle que soit la fonction W choisie.

On a alors :

j jjj'>0

J' — ;jlJ>0.

Ces inégalités vont jouer un rôle essentiel dans nos raisonnements.