Posons

a et [^ étant comme ci-dessus deux paramètres arbitraires. On a :

On voit que J — [J. J' est une forme quadri(|uc définie positive par rapport aux deux variables a et p. D'où :

(J,,.. - ^Kp..)^ < (J.P - ;-^;,) (^,H.- ^K^>n

EXTEXSIOy DE LA METHODE DE .\EiMA.\y

inégalité qui est à lappiochor des inégalités semblables déjii obtenues.

Posons d'autre part :

D'où

W-=aW,, — 3\V,,.,.

On déduit de là l'inégalité :

(J:p.>-;-I„.)^<:K„-aJ„):.i;„,-aJ,,.,)

analogue à la précédente.

jNIaintcnant, on a :

a^ ^i:, — ;jlJ„,; — 2a;ii ^K,,., — u.^,,.,, + ^- si:,,., — y-L^,;) > 0.

D'où l'on déduit par addition :

Nous sommes encore amenés à la considération d'une forme quadratique définie positive dépendant des deux variables a et j. Son discriminant est certainement néoatif. D'où :

Mais on a :

Donc on peut écrire :

j.p..4-j;..<(|^j'Xp+j;p)

34o THÉORIE DU POTESTIEL NEWTOMEN

en divisant les deux membres de l'inégalité par la quantité positive :

Posons enfin :

On a:

Finalement, nous arrivons à l'inégalité fondamentale suivante :

•'21.+ 2 + J 21.^2 < L^ ( Jjp -f- Jji,) .

C'est de là que nous allons tirer la preuve de la convergence des séries de Neumann.

173- Convergence des séries de Neumann. — Nous venons d'établir rinégalité suivante :

(J2„.. + JU)<LMJ.r+J2„)- On peut donc écrire :

Multiplions ces inégalités membre à membre. Il vient :

j2p+j;.<(-ioH-Jo)L^''.

Posons :

Nous avons en définitive :

j„ + j:,.<au.'.

On conclut de là que l'on a ii fortiori :

J„,<AL^'', j:,,<AL,p, puisque :

E.VTnxsiOy DE LA Mi: rilODE DE .\ErM.i.\.\ 3^,

Donc les séries :

sont convergenlos comme la pi-og.cssio.i géomclnquo décrois, santé de raison L.

Nous allons déduire de là que les séries :

sont convergentes même pour À = + 1 et pour a = — i.

174. Reprenons la fonction W définie plus haut comme le potentiel d'une double couche quelconque. J*vC rivons :

On a :

l'intégrale étant étendue h tout l'espace. Cette intégrale a un sens : elle représente l'énergie totale due à l'attraction de la double couche.

Considérons maintenant l'intéirrale :

^=XP'

On a :

Etudions alors le rapport :

Il a certainement une limite inférieure, puisqu'il ne peut prendre que des valeurs positives. Mais a-t-il aussi une limite supérieure.' Il est facile de voir que non. En effet, J-j-J' peut s'annuler. Cela a lieu lorsque W est le potentiel d'une double couche homogène. Mais, dans ce cas, le numérateur K reste différent de zéro. Donc le rapport en question peut devenir infini. Un artifice va nous permettre de tourner cette difficulté.