Considérons l'intéffrale

C étant une constante.

Choisissons cette constante C de façon que l'intégrale M soit minimum. On a :

= f U-dco — 2C f Udco + C- f dco

J'S) J(S) .As)

Pour que M soit minimum, il faut et il sufiit que C vérifie la relation suivante :

fUdw

JiS)

C f dco.

Pos

S= 1 dw, s étant l'aire de la surface donnée. On a:

f Udo)

Envisageons alors le rapport

EXTEySIO.X DE LA METHODE DE .\ E LM A .\ .\ 343

et cherchons à lui assigner une limite supérieure. Nous allons

voir que c'est possible.

Pour que — devienne mlini, il laut que J + J' s annule. Si

cela a lieu, on a :

en tout point de l'espace. D'où :

Mais alors AN est le potentiel dune double couche homogène. Dans ces conditions, on a :

rUd(o = U(' dco = US.

D'où :

et par suite :

Ainsi réoalité

entraîne l'égalité :

On conclut de là que le rapport :

est limité supérieurement.

Ce qui précède n'est qu'un aperçu. Mais on peut trouver une démonstration rigoureuse. Je renverrai encore pour ce point au mémoire déjà cité des Acta Matlieniatica.

Quoi qu'il en soit, admettons que l'on puisse trouver un nombre B tel que l'on ait :

quelle que soit la fonction AV choisie.

344 THÉORIE DU rOTESTIEL NEWTONIEN

176- Prenons la fonction W,,. A cette fonction est attachée une certaine constante Cp calculée au moyen de l'équation :

Posons :

On a, en vertu des conclusions du paragraphe précédent :

Or:

et l'on a en outre :

J.p -4- y,, < AL^".

Mp < ABL-P

comme on l'a vu au paragraphe 172.

On conclut immédiatement de lîi que les deux séries :

et:

sont convergentes ii la façon d'une progression géométrique.

m. Soit do-' l'angle solide sous lequel l'élément dto' ayant jiour centre de gravité le point M' (x', y', z') de S est vu du point M(x,y,z). On a:

do- = — , d(o = — !-,

dn r^

en désignant par r la distance MM' et par ^ l'angle de la normale a S en M' avec la direction de jNIM'. Je rappelle <[ue nous avons posé :

if/ dT

E.\"rf:ysiox dk la m i': t ii o d e de xEr.vAx.y 3 ',5

Cela posé, on a :

w,=/ji;..dO'.

Considérons l'intégrale :

C'est le potentiel d'une double couche homogène et il est m:inîfeste que l'on a :

I|,( = 2C|,i... quand M est intérieur à S

I|,j=C|,j quand M est sur S

I|,.., = 0 ([uand M est extérieur ii S.

Prenons alors le cas où le point M reste à l'extérieur de S. On. peut écrire :

r cl(o

Je veux montrer que la série :

est convergente.

En effet, partons de 1 identité suivante :

y a'-, Vlr. = (^a J>,) ' + V :a J), - a^bj^

qui est bien connue sous le nom àidcntitê de Lagrange. On en déduit :

On passe aisément de cette inégalité à la suivante : [j"-f'M(o'] <J'^^do/ pV-dco'

où 'z et 'h désignent deux l'onctions intégrables quelconques. Cette dernière inégalité est due à M. Sehwarz. On a d'après cela :

et :

wj<j>,„.c„.M<,//;(-^)'d

Envisageons l'intégrale :

On peut écrire :

dB' 1 cos ^

ck,/ 2- r^

D'où :

de' y- 1 <

doj' / ^Tl'l'*

D'où :

Or, ici r ne peut pas s'annuler. Donc on peut assigner une limite supérieure G à H. Par suite :

et enfin :

W,^<GABL-P--

On déduit de là sans peine :

lw,,i<v/ÂiKrL"-'

On peut écrire :

lW.,f<glA

Considérons alors la série :

On a :

lA'W|<g(ALy.

f:.\TE.\SIO.\ DE LA M/rr/lODE DE .\ E l M A .\ .\ 3 i7

Donc la série envisagée est convergente comme une progression géométrique pour les valeurs de A satisfaisant :t 1 inégalité :

En particulier, on peut prendre "/. égal à -j- 1. C^omme tout ce qui précède est valable pour les points M extérieurs ii S, on voit que le problème extérieur de Dirichlet est résolu.

178. Vovons maintenant ce (jui se passe quand le point M(x,y,z) est situé ii 1 intérieur de S. 11 taut alors modifier un peu les raisonnements précédents.

On a, cette fois :

On peut montrer d'après cela que la série :

est convergente. C'est alors le problème intérieur de Diricblet qui est résolu. Les raisonnements sont d ailleurs tout semblables il ceux du paragraphe précédent.

179. Pour que les conclusions énoncées à la fin de chacun des paragraphes 177 et 178 puissent être considérées comme rigoureusement établies, il reste encore ii prouver la convergence des séries de Xeumann pour le cas où le point M (x, y, z est situé sur la surface S elle-même.

On ne peut plus faire les raisonnements qui ont réussi pour les cas des points extérieurs ou intérieurs. En efFet, si nous envisageons maintenant l'intécri'ale :

le coefficient différentiel ne reste plus fini dans le champ d'intégration. Par suite le nombre G n'existe plus. Cependant on peut encore être assuré de la convergence de la série de Xeumann. Il faut seulement construire une nouvelle démonstration. Je n'exposerai pas ici cette démonstration. Elle est contenue

348 THÉORIE DU POTEyriEL iXEWTOyiEX

clans le mémoire des Acta inatltcniatica dont j'ai déjà parlé. En voici seulement les conclusions.

En un point extérieur à S, on a, en désignant par g une certaine constante :

En un point intérieur on a de même :

Pour un point situé sur S, ces inégalités ne sont plus viaies. Mais, si l'on remartjue (pie Wp se réduit alors à Up et si l'on appelle h une nouvelle constante indépendante de p, on peut

écrire •

iUp-Cp.l<(g + hp)D\

Les conclusions relatives a la convergence de la série de Neumannn ne sont pas modifiées.

180. Conclusion. — Les considérations précédentes ne constituent évidemment que des aperçus. Mais une démonstration rigoureuse et complète est possible. On peut se rendre compte déjà de la direction dans lacpielle il a fallu la chercher et dans laquelle il faudrait marcher pour généraliser davantage encore les circonstances où la méthode de Xeumann s'applicjue. Bornonsnous à conclure que cette méthode donne encore la solution du problème de Dirichlet quand la surface S n'est plus convc.vc, pourvu qu'elle soit toujours simplement connexe. Il est probable même qu'on pourrait arriver à se débarrasser de toute restriction relative à Tordre de connexion du domaine envisagé.

181. Définition des fonctions fondamentales. — Dans les chapitres précédents, j'ai cherché à donner partout à mes raisonnements un caractère de parfaite rigueur. Je veux maintenant terminer par ([uelques indications où mon but sera moins d'obtenir des conclusions définitives que de faire entrevoir comment certains problèmes doivent être posés.

Soit S une surface fermée portant une simple couche de matière attirante. Appelons T le potentiel dû à faction de cette simple couche. Quand nous en aurons besoin, nous distinguerons

EXTE.\SIO.\ DE LA MÉTHODE DE N E f M A S .\ S.JQ

la valeur T de ce potentiel en un point intt'ricur ii S et sa valeur T' en un point extérieur à S. Sur S, on a :

et :

clT , i\V

An '^ dn

comme nous l'apprend la théorie des surfaces attirantes. Formons les intégrales :

étendues respectivement aux espaces intérieur et extérieur ii S. Le théorème de Green montre que l'on a :

J,«> du

et

r dT'

J'=— / T' -V— clw.

.1^. dn

D'ailleurs on peut écrire :

j=rT-4^do.

..'(sj dn

J := / 1 ^ doj,

c'(S) <-ln

Les deux quantités J et J' sont essentiellement positives. Elles ont donc chacune un minimum.

Assujettissons les fonctions T à la condition suivante :

Considérons, parmi toutes les fonctions T qui vérifient cette relation, celle ([ui fait prendre ii J sa valeur minimum. Elle n'est certainement pas identiquement nulle.

35o THEORIE DU POTEXTIEL .\EWTO.\lE\

Pour déterminer la fonction T en question, employons les procédés du calcul des variations. Donnons h T un accroissement ST. On doit avoir :

oJ = 0,

puisque J est minimum. Or :

J(sA du du /

I 1 — j dco = / — j — 0 1 do

J(S) tin ,/(s, du

Donc la condition :

oJ = 0 se réduit ii la suivante :

r cil

Jis) cln

^^ oTd(o = 0.

D'autre part, on peut écrire :

puis(|ue J' a la même valeur pour toutes les fonctions considérées. Par conséquent :

aTdto = 0.

(S) tl»

Les deux relations :