AT, = 0, AT
à rintérieur de S. D'autre part :
cIt; , r^ cIt;
rT.4i^cio.=rT,4^-LcUo=o,
J[=,) eln .v(S) - an
en vertu des hypothèses faites. Enfin dT
Donc :
>J[S) * dn
dco = — J' = — 1.
On voit par \\\ que la seconde fonction fondamentale T^ vérifie la relation :
'IT, .uiïi^o.
du " dn
D'ailleurs on a
r T,-^ dco + h,, Tt,-^ dto = 0.
i/(S) Un -J(S) - dn
D'où
Ii.> = J,
ce (jui montre ([ue h., est positif.
On peut piocéder ainsi de proche en proche. On définit de la sorte une suite illimitée de constantes positives croissantes :
h,h,h^...hi...
auxquelles correspondent des fonctions :
K.xrEysioy ni-: la mi:i iiode de selmass v->\
jouissiint (les projdK'tc's siiiv;iiitcs :
ATi :=r 0 il rintriicur de S
AT|=() il l'ext^M'iinir d»^ S
Ti==T: sur S
h; — : = () sur h.
dn De [)lus T, est une (oiictidu r(''gti]it'r(» il riiiliiii. l"',ii(in on ;i :
/"T,-^d(,)=0... si i=^k l'ï an
rTi4^=o...sii=^k.
i(Si du '
Les (onctions Tj ainsi définies poit<Mit le nom de Foiulu ns fonddnn'iildh's .
182. On peut loiinei' laeilenieul les lonetions londainentaK s dans le eas de la sphère.
Appelons alors X„ une lonetion sphéii([ue. Posons :
On a alors
T„=XnO" Il ,
On a bien
et
<rr„
Il dT,:
tin n-f- l i\\\
pour o=:l, en su[)posant (pie le rayon de la sphère envisagée soit éoal il l'unitt'.
o i>01X(;aki':. Polont. New!. a'J
TllEORIK DU POTENTIEL NEWTOMEy
183. On peut encore lormer les (onctions (ondainentiiles chins le cas d'un ellipsoïde représenté par l'équation:
Passons en effet en coordonnées ellipti([ues . ('onsidc-ions les quadriques définies par i'équation :
Jr — A
Ce sont les quadriques homolocales à lellipsoïde donné. Par chaque point de l'espace, il passe trois de ces c[uadri([ues. Les valeurs coriespondantes du paramétre), seront désignées [)ar p.;j-,v- On a par exemple :
Poui- ). ^^= p . . . un ellipsoïde.
p(»iir /. ;= a. . . un hvperboloïde à une nappe.
Pour ), =;v . . . un hvperboloïde ;i deux nappes.
Les nombres p, |j., v constituent ce qu'on appelle les ct)ordonnées elliptiques d'un point.
On connaît la définition des fonctions de Ltiniè. Elles sont de la lornie :
RMX
et l'on a :
Le produit IIMX définit une ronctit)n harmonique a liutérieur de la su ri ace S donn(''e. Nous posons :
T = RMN.
IMainlenaiit, on peut construire une U)nclion l\' lelle ([ue le j)roduif :
