T =R'MN
A une lonmieiii' iiiliniiiient petite prise sur la iu)!inale ;i Vv .soïcle tlouné eorrespond un aeeroisseiueut il ^ de o. Ou ad leurs :
d'JL = (), dv = 0.
np.
ail-
D'oii
et:
I)"où :
On en déduit
dT dR dp
du il ^ ^ " du
dT' dR d =
du dz
dR
^__iU dT'
dp
dR
HT
dir"
dz
du du
D'ailleurs, h est la valeur de
dR
dli HT
pour p := U : eest donc bien une constante.
184. Revenons au cas général et appelons <I> une lonction quelconque définie sur S.
De nombreuses analogies portent i» penser (pie la l'onction (ï> est toujours développable en série procédant suivant les lonctions l'ondamentales.
On aurait alors :
les Ai étant des constantes.
Si l'on admet la possibilité du développement, le calcul des. coellicients A^ est facile.
Multiplions en ellet les deux membres de l'égalité (1) par :
dT;
dn
et intégrons. On a
D'où
r dT-
ij> Tir '•'•'=»
JiS) dn
J[?-) cln
On sait donc Ibrnier la série (1).
Soit W la somme de la série (1) en des points non situés sur S. On voit que W est une lonction barmonique tant à lintéricurqu'à l'extérieur de S, car AV est le potentiel d'une simple coucbe. De plus, W se réduit ii fl> sur S. DoncAV est la (onction ([ui résout le problème de Diricblct tant intérieur (pi'extérieur.
185. Application à la méthode de Neumann. — Revenons :i la détermination d'une double couche dont le potentiel ^\ vérifie la relation :
en tout point de S.
/:.\ J i:.\SlO.\ DE LA ME l no DE DE .\ E [M A y X
JÎ7
Oii peut écrire, en supprimant les indices pour abrégei' l'écriture :
On a :
D'autre part :
puisque :
D'où :
dT , dT' ^, (In an
Vo «^IT Y,, dT'
ZJ' du ^' dn
dW d\\
dn
^lais la relation ^l donne :
(comparons (1) et (2" :
Cette équation permet de calculer ^i, puisqu'on connaît a. On a ensuite [j' par la relation (2). On trouve :
i|h).(i h) 2 ah
D'après cela, W et ^^ se présentent comme des (onctions méro-
morphes de À. Le module du pôle dout 1(^ module est le plus petit est :
l + II.,
Il est plus graud que i. Donc le cercle de convergence des séries de Neuminin est plus grand que 1. Il n'y a d'exception a cela que si l'une des quantités h est nulle. On a :
li,=0.
Donc les conclusions précédentes supposent une condition :
Cette condition est d'ailleurs équivalente \\ la condition :
que nous avions rencontrée dans l'étude directe de la méthode de Neumann. 11 est visible enfin que, pour le problème extérieur, il n'y a pas de condition semblable, à cause de la présence de h au numérateur de [i'. On voit en eflet que, pour h, = 0, on a :
sans qu'il soit lorcé pour cela que a^ soit nul.
En résumé, laisons Â= 1 dans les séries de Neumann. 11 vient::
Zj 11
W' = — yaT.
On a ainsi la solution du problème extérieur de Dirichlet. ^lais il y a une condition de possibilité, (^ette condition est nécessaire pour que nos séries représentent la solution, c'est-h-dire pour que celle-ci puisse être regardée comme un potentiel de double couche. Faisons maintenant /> = — 1. On trouve :
aT
W'^VahT.
Zj
On a de la sorte la scdulion du problème inléiieur de Diiichlet.
A'.\ / A'.v.s/o.v i)i: r.t MimiODi: de .\/:ima.\.\
M;iis ('<tlt' luis, il n v a pas de coiulitioii tic pos^ihillti'. l.a solution est toujoilis assiimlahlf ;i un jt;»ttMltii'l de doiihlc conclu'.
186 Application à un problème analogue à celui de Dirichlet. ^ Reprenons les notations :
dont nous nous sommes d«''|à stMvi.
(liierchons ;» construire une Jonction jouissant des propriétés suivantes :
AW = ()
dV dV . /dV dV (In du \ dn dn
*I> ('tant une (onction donnt'e sur S. Posons :
