AX
Ce sont des polijiionics sphcriqiicsj car on appelle, en général, de ce nom des polynômes homogènes en x, y, z satisfaisant ii l'écjuation de Laplace. Le potentiel Y est ainsi développé en série de la forme
T)onc le potentiel iiewtonden est dèveloppable en série de polynômes sphèri(pies oiitour de l'origine, fjnand l\)riiiine est extérieure aux masses agissantes.
Dans ce développement, les termes de même degré sont groupés ensemble; si l'on essayait de les grouper autrement, la série pourrait cesser d'être convergente.
C'est là un fait général pour les séries qui ne sont pas absolu-
POINCARÉ. Potent. Xcwt. 4
5o THEORIE DU POTEyjIEL .\ E ]]■ TO .\I E .\
ment convergentes ; on ne peut ]);is modifier lubitrairement l'ordre des termes. En voici un exemple simple; la série suivante de polynômes homogènes :
l+'x + iy 4- x + iv ^'+ + x + iv"+ ,
où l'on suppose
I ^+iy
est convergente et a pour somme
i-^x+iy)
en la considérant comme développée à la (ois suivant les puissances de x et de v.
Elle n'est pas absolument convergente, dans tous les cas où elle converge. Groupons, en efï'et, les termes dans un autre ordre; par exemple, effectuons les puissances indiquées et séparons les termes; considérons le terme
Quand n augmente indéfiniment, la valeur asymptotique du module de ce terme est :
ou, en supposant x := y :
Vtm
ce terme ne peut tendre vers zéro que si l'on a
Si donc le module de x est suj)érieui' ;i ^, le nouveau développement est cei'taineinent divergenl, alors (jue le premier <>st encore convei-gent pour toutes les valeuis de .r inlc'rieures
i)i:\ i:i.()i>i>i:.Mi:sr sinAM' les i>lissa.sci:s /i.\'m:fi/:s ur. .v, r, /. 51
Une piucille circonstancr ne so |)r<''S»'iite pas poiii' les s«'ries il termes positils.
24. Développement du potentiel new^tonien suivant les puissances entières de x, y, z. — Uevcnoiis au potentiel. \(nis avous tlénionlié que le j)<)tciitiel newtouieii est développable en s(>rie de polvnomes sphéi-lques autour de l'origine, quand (cllc-ci est extérieure aux niasses agissantes. Moulions niainlcnant (pie, dans la nit^iue hypothèse, la fonction V est lioloniorpitc au voisinaf^e do l'origine, e'est-;i-dire que, dans une sphèi-e assez petite avant pour centre lOiigine, elle est devehtppahle en sciic de hi (01 iiic
Vavvva
m,n,p étant des nombres entiers positifs pouv;int prenihe toutes les valeurs entières de zéro à l'iiifini. Pour le voir, rappelons que Ton ;i :
r- = c- — 2 cp' cos Y H- 0'- = \' H- y- -^ z- — 2 xx' + 2 y v' + 2 zz' + x ' + y'- + z'-
et posons :
2 xx' + 2 vv' + 2 zz' — X- — V- — z-
On a, en comparant r' et X :
r-^=:o'-' l-X}, d'où :
i Développons(i^ — X; 2; on a :
^1— X)"~=a„ + a,X + aA^+ + ;',.X"+.
et, j)ar conséquent,
Dans cette série, les coeMicients a sont tous>().
5i THÉORIE DU POTEM'IEL NEWTOMEN
Développons maintenant X en série entière ; nous sommes
ainsi conduits, en transformant la relation (i). a représenter - par
une série de la l'orme
— = Y Ax•"y"z^
et il représenter V par la série suivante :
Ce développement est-il convergent et représente-t-il bien la l'onction V? Nous allons le démontrer en prouvant que ce développement
(a) Vx-y"."/Au'dT',
est une série absolument et uniformément convergente. A cet effet, posons :
en appelant x^y^z,, les modules de x,y et z. et considérons le développement suivant
= > A x'"v"z'' Etudions la série
AyXo'Vo'zi;.
Comparons d'abord les coeflicients A„ aux coefficients correspondants A.
Tous les coefficients X^ sont positifs; tous les a le sont aussi; donc tous les termes du développement i\\) sont positifs, et par suite, les Ag le sont également. Considérons, en outre, deux puissances égales de X et X^ : X'" et X^'; chaque terme de X„'' est plus
DÉVELOl'PEMKyr SiIVA.\T LES l'ilSSASCES E.\TIÈIiES DE X, Y, /. 51
petit en module que le tenue correspondant de X,,' ; on en conclut l'inégalité suivante :
Ao>lA|.
Cela posé, reprenons la série (b) ; dans quel cas converge-t-ellc? Elle convergera, si l'on a :
comme on le voit eu se leportant aux égalités (3).
Pour que X„ soit plus petit ([ue 1, il sufllt que l'on ait :
or on a :
^o' + Xo' + K' = ?%
on a donc aussi :
et la condition ^4) sera remplie si l'on a :
ou bien c'est-à-dire
rp^pV3-<4p^
c'est-à-dire eniin :
et, à fortiori, si Ton a :
a désignant comme au paragraphe précédent le rayon d'une sphère fixe, ayant l'origine pour centre, tracée de manière à laisser à son extérieur toutes les masses agissantes, enfin contenant le point M où l'on étudie le développement du potentiel.
Supposons donc cette condition remplie; alors X^ est inférieur à i; la série (b) converge. Considérons maintenant la série suivante (c)
icS ^ \"'v"zP / A a d-:
5i TlILORIi: DU POTF.STIEL yEUrOMEX
OÙ 'J.^ désigne un nomljro positil supérieur à | |j.j ; cette série converge comme la série (h). I^nfin comparons notre série (c) à la série étudiée (a). Tous les termes de (a) sont inférieurs en module a ceux de (c); or (c) est une série à termes positifs et elle converge; donc (a) est absolument convergente.
La relation 2) est donc justifiée.
Ainsi le potentiel newtonien est dévelopj)able autour de l'origine en série entière procédant suivant les puissances de x, y, z.
On peut efiectuer. de même, le développement au voisinage d'un point quelconque (x„ v^ z^, extérieur aux masses; le développement procède alors suivant les puissances de x — x^,
y— jo'Z — z„.
On peut donc énoncer en général le théorème suivant : an i>oisin/is;(' (/'//// point (.r^^, ij^, zj e.vlèrienr aii.v masses abaissantes, le potentiel newtonien est une fonetion /io/o/)/o/p/ie, e'est-à-dire dèçeloppahie en série entière pvoeédant suisumt les puissanees croissantes de x — .r„, // — //,, r — r,^.
La démonstration n'a été laite que pour un volume attirant; elle s'applique évidemment sans modification au cas d'une distribution quelconque de masses.
25, Autre développement en série du potentiel newtonien. — Considérons maintenant (tig. 20 un volume attirant T et un point M extérieur à ce volume, situé de telle sorte qu'on puisse tracer une sphère - contenant le volume T tout entier, mais laissant le point M il son extérieur.
l^renons le centie O de cette sphère comme origine des coordonnées.
Si p,p',7 et r ont les mêmes significations que précédemment, on a
= |[i-2£lc.,.,+(|-)7"^
Le point M étant ii l'extérieur de i], on peut construire une
A u T H !■: ui: \i:f.<> r r /•; .1/ r -v r e v .< /■; lu 1: 5 '>
(loiixièmo s|)li('re ï! , coiir('iitri([ii(' à ï, dont le liiydii sa esl plus ^^raïul ([lie le lavoii a de 1 t-t ([ui laisse le point M à son extérieur ; ou a donc :
p>ca>a>p' et £>1 Raisonnons comme au v; 23, on voit ([ue
ce ([ui montre ([ue la série :
— +l^-h-+ + Pn-T^+-
est uniformément convergente pour toute valeur de p' correspondant il un élément dt- volume quelconque (It' de T.
On peut, par conséquent, intégrer terme à terme et écrire les intégrales étant étendues au volume T.
56 THÉORIE DU POTEXTIEL .\EWTOyiEy
Considérons le terme général de cette série
on peut l'écrire :
Pnp" est un polynôme homogène de degré n par rapport aux coordonnées x, y, z du point M ; il en est donc de même de ¥„. Le développement de V prend la forme :
Si Ton remarque que l'on a
AV = 0, on démontre sans peine que l'on a
et ensuite
Les polynômes homogènes Y„ sont donc des polynômes sphé riques.
Tout ce qui précède est vrai d'un point M quelconque extérieur à la sphère S'; si le point M s'éloigne indéfiniment, on voit que la valeur asymptotique de V est
comme nous savons d'autre part que cette valeur asymptotique est —, jNI désignant la masse attirante totale, on conclut
26. Développements analogues pour le potentiel logarithmique. — On peut obtenir des développements analogues pour le poten-
1> O TE .Y TII-: L LOGARl TIIMIQ C F.
tiel logarltliiniquc thins le j)l;iii. Soit (ig. 21) un»' surlace plane attirante S, P un de ses points et 0 l'origine des coordonnées supposée extérieure à S. On peut tracer un cercle C ayant le point 0 comme contre et tout entier extérieur ii l'aire attirante S.
Soit, en outre, M un point attiré situé ii l'intérieur du cercle C, X, y ses coordonnées et x', y' celles du point P. Appelons o, p', r les distances OM, ()1* et MP. Posons :
- ly iv'
r=lz z|.
Soit ;j.' la densité de la matière attirante au point P; la valeur V du potentiel logarithmique en M est :
V= /'-Ji'. loo-ildco'.
dci>' désignant l'élément infinitésimal de l'aire S et l'intégrale double étant étendue à l'aire S tout entière. La valeur de V n'est autre que la partie réelle de l'intégrale.
58 THEORIE BV POTEMIEL NEWTOMES
Or, il est lacilc de développer ^^ suivant les puissances croissantes de z : appelons a le rayon du cercle C ; puisque le point M est intérieur à ce cercle, on peut tracer une deuxième circonférence C, concentrique a la première, dont le rayon sa est plus petit que le rayon a de C et telle que le j^oint M soit ii son intérieur. On a donc :
on a d'ailleurs
< ca < a <
et £ < 1
log
Or, d'après les inégalités (1), on a
on peut, par conséquent, développer log( i ^ jeu série entière
et écrire :
Cette série est uniformément convergente pour tout point 1* de l'aire S, car, pour un quelconque de ces points, les inégalités ( I ) et (2) sont satisfaites; on peut donc intégrer cette série terme ii terme et écrire
Vs
: = /Vlog-^do,'-Vzn/A„;.'do>',
les intégrales doubles étant étendues à l'aire S. W est ainsi dév(doppé en série entière ; on en conclut sans peine le développement de V en série de polynômes homogènes. On a, en effet :
(•) désignant l'argument de z. On peut donc poser en outre*
•x'XjW ^ n„e'
vo I i:s rir.i. i.oc.MirniMiqu e 59
lit piiitiu réelle de I ;jiA„ z" dto est cloiic : ll„o" cos ii(i> -f- 0„ ;
c'est 1111 polvnoine hoinogèiie et entier en x et y. et, si 1 on lenKir- <[ue qne \ est éoul ii la somme de la série des parties réelles du développement de W , on voit ([iic \ se trouve développé en séiio de nolvnomes lioniof>ènes ; ils satislont évideninient ii 1 •'(iiialioii
de Laplaee.
27- Considérons maintcuanl (ig. 22) un point M sulfisannuenl éloigné de l'origine O pour que l'on puisse tracer, autour de O
Fig. xf..
comme centre, nne circonlérence C contenant 1 aire S ii son intérieur et laissant le point M ii son extérieur. On peut alors développer le potentiel logarithmique V en M suivant les puissances de — - : il suffit, pour le voii-, de laii'e un raisonnement
semblable a celui du v; 26. Du point O comme centre, on peut décrire une circonférence ('.' dont le ravon sa soit plus grand que le rayon a du cercle C et qui laisse le point M à son extérieur: on a, dans ce cas,
o>£a>a>p' et s>l.
6o THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN
Reprenons l'expression de W :
on a
log
et, comme on a
loi
quel que soit le point P choisi <4ans S, on peut développer logji 1 en série entière procédant suivant les puissances
croissantes de
et cette série est uniformément convergente ; on peut donc écrire :
(1) W = Aog ^ u'doV +Vz-" Ç[— A,.) IJL'dw'
les intégrales doubles étant étendues à l'aire S. En prenant les parties réelles des différents termes, on voit que la série du second membre de l'expression (i) donne lieu pour V à un développement procédant suivant les puissances croissantes de — ;
ce développement est précédé, dans l'expression de V, par la partie réelle de l'intégrale :
M désignant la masse attirante totale; cette partie réelle est :
Mlo
POTE MIEL LOG A ni TU Ml QUE 61
Le développement (!<■ V est doue de la l'orme :
y = Ç^,\ log-!f +VR„.p-"cos ^luo — \) en posant :
j":-A„>'dc.' = R„e'^",
et
z = pe'"-
Remarquons que Texpression :
p~" cos 'wM — 0„ , peut s'écrire :
a ■". 0" cos luo — bn := — -
X„ étant un polvnome entier, homogène, de degré n en x et y, satisfaisant, en outre. ;i léquation de Laplace. Finalement on a :
V = Mlog^+>^.
On voit immédiatement, soûs cette forme, que l'expression de ^ ne contient pas de terme indépendant d'x et d'y; en outre, lorsque le point M s'éloigne à Tinfini, le potentiel A' a pour valeur asymptotique
Mlog-^, résultat que nous connaissions déjà (§ 8).
CHAPITIIE II
l'OTENTII-L ]-X UN POINT INTÉRIEUR AUX MASSI'S AGISSANTl'S FORMULE DE POISSON
28- Convergence des intégrales. — Application au potentiel. — .lusqu'ici nous avons étudié le potentiel en des points extérieurs aux masses attirantes; nous allons maintenant étudier ee qui se passe quand le point attiré est situé au sein même de ces masses, (^ette étude repose sur la considération d'intégrales portant sur des (onctions qui deviennent infinies pour un point du champ d'intégration ; commençons donc par établir les propriétés de ces intéerales.
1" Inli'i^rdlcs simples. — Considérons l'intégrale définie
f X dx, a<b.
Si la fonction r(x) devient infinie pour x r^z a, la définition ordinaire de l'intégrale ne s'applique plus et l'intégrale n'a plus de sens; pour lui en donner un, on modifie la définition. On considère l'intégrale
f(x)dx;
lu définition ordinaire s'y applique ; soit J, sa videur; si .1, tend vers une limite J quand t tend vers 0, l'intégrale est dite co/tve/-iien/e ol l'on représente cette limite .1 par la noialion
'Vfxidx.
Si, au coulraire, .1, augmente indidiiiiincul ou n'a pas de limite,
co.Y yi:n(.i:.\ci: des i.\ i r.c ha i.r.s
([iKiiid £ Iciul v(M"s 0, 1 iiit<''gr;il<> est dite (/i\'c'i'i;c/i/<' ol le svmhole
n'a aucmi sens.
\ Oici tics ('\('m|)les de ces deux cas. Si Ton peut troiiNcr un nombre a< 1 Ici ([iic Ton ait
la limite .1 existe et 1 inti'oiale est converircnle. Si, au c(»ntraire, ou peut trouvci' un nombre ,j > i tel (jue
.L augmente ind('-(inimcnl et rintt'i>ialc est di\ cjoenle.
2' Inlèi^rdlcs doiihlcs. — Soit une aii'c plane S I fig". '1\\), limitée par une courbe lerm«'*e C, et une lonetioii I x, y) devenant inli-
nie eu un point G de l'aire S, mais restant continue en tous les autres points de Taire.
L'intéu'rale double
Ç f r X, y; iUo,
étendue a tous les éléments doj de 1 aire S, ne rentre pas dans la définition ordinaire et n'a aucun sens par elle-même. Pour lui en donner un, entourons le point 0 dune petite courbe lei--
niée C; appelons S' Taire enfeiinée par la courbe C, et S" l'aire comprise entre les courbes C et C ; l'intégrale
cUo
étendue à Taire S , a un sens et sa valeur varie quand la courbe C change de grandeur et de forme. Supposons que J,, ait une limite J quand la courbe C, diminuant d'étendue dans tous les sens, vient s'évanouir au point 0; on prend cette limite pour définition de l'intégrale I I f (x, y) d(o; on dit alors que Tintégrale J,.. est convergente.
Dans le cas contraire où J^. n'a pas de limite finie, l'intégrale Jj. est dite divergente et l'intégrale 1 I n'a aucun sens.
29. Dans quels cas l'intégrale J,. est-elle convergente? En voici un. Posons
OM = r,
et admettons que Ton ait en tout point de Taire S :
INI
on peut alors affirmer que J,.- est convergente. Pour le voir, sup-
Fig. 24.
posons d'aljord la fonction f(x, y) positive en tout point de S. Traçons, autoui- du point O (fig. 24) comme centre, deux cercles.
C0.\] /:/!(; E\(JC DES I. y TEC /{.IL ES 65
ruii (>„, (le l'iiyoïi i',|, (|iic MOUS laisserons fixe ; raiitie [)lns petit C dont nous ferons tendre le rayon r" vers zéro. Enfin, pour simplifier le langage, désignons par les svndjoles
«^ «- c— ""o «^ «- c— c «^ l Co— c
les intégrales étendues aux aires comprises respectivement entie les courbes : C et Cq, C et C", C^ et C". L'intégrale
J£ ,f(x,y)dc.,,
a un seuë; elle est > o et augmente ([uancl r ' diminue. On a, de plus,
/ / I' x, y) doj < / / -— dto, et, par suite,
Jf f(x,y>l(o</'/' 2i,U^ff ^d,K
la première intégrale du second membie reste fixe ; quant à la deuxième, elle a pour valeur :
et on voit que, si a est inférieur à 2, elle tend vers une limite finie quand r" tend vers zéro.
L'intégrale du premier membre j j ,, f (x, y) d(o, qui reste toujours inférieure à cette limite et \a sans cesse en augmentant quand r ' diminue, a donc aussi une limite.
Le résultat n'est pas changé, si l'on remplace la circonférence C" par une courbe C de forme quelconque entourant le point O et venant s'évanouir en ce point; ou le voit facilement en traçant, autour de 0 pris comme centre, deux circonférences C," et C^' comprenant entre elles la courbe C et venant s'évanouir en O en même temps que celle-ci.
Supposons maintenant que la fonction f ait un signe quelpoiNCARÉ. Potenf. Newt. 5
66 THÉORIE DU POTENTIEL NEWTO-MEX
conque; les conclusions précédentes s'y appliquent encore. Posons, en effet,
en convenant que l'on a :
i; = f et i; = 0,
en tous les points où f est > 0, et :
i; = 0 et «; = — f
en tous les points où f est < 0.
On peut appliquer à t^ et i\ le raisonnement précédent ; les deux intégrales :
Jj = / / fj 'x, y) doj et J-^ = / / '2(^5y)<^^i
sont toutes deux convergentes ; leur différence,
l'est donc aussi et la proposition énoncée plus haut se trouve entièrement démontrée.
On peut aller un peu plus loin •Il ,K(^? Y j dw est convergente, car elle est égale à J, -f- J,. Pour cette raison, l'intéo-rale .1 est àiie absolument convergente. Remarquons enfin que les limites de ces c[uatre intégrales sont indépendantes de la suite des formes que prend le contour C lorsqu'il vient s'évanouir au point 0.
Tous ces résultats s'appliquent au potentiel d'une surface attirante, cjuand le point attiré est intérieur aux masses agissantes. Ce potentiel a pour expression :
I^a fonction f (x, v] du raisonnement précédent est ici -^ ; elle
satisfait donc aux conditions sulli santés de convergence indiquées dans l'énoncé et l'intégrale V a un sens bien défini en tout point de la surface attirante.
lyricGRALrs triples
30- Intégrales triples. — On clofiiiit la convergence, clans le cas des intégrales triples, comme clans celni des intégrales doubles. Soit S une surface lei"m<''e liinilanl un volume \ ; soit F fx, v, z"* une lonction deveiuint infinie en un j)oint du volume V, mais restant continue en tous les autres points ; pour donner un sens h rintégrale triple
on entoure le poinl () dune suilace lermée S' et l'on considère
l'intégrale
y=f ff F;x,y,z;clT,
étendue au \olume V compris entre les deux surfaces S et S'. Si J a une limite quand S' vient s'évanouir au point (), (»n dit que cette intégrale est convergente et cette limite est prise pour définition de J. Dans le cas contraire, J' est dite divergente et l'intégrale J n'a aucun sens.
On peut affirmer la convergence de J , lorsque l'on peut trouver deux nombres positifs, l'un M, fixe, et l'autre a< .■{, tels (lue l'on ait en tout point du volume \ :
r désignant la distance du point () à un point quelconque x, y, z du volume. L'intégrale J' est en outre absolument convergente, car l'intégrale
dT,
converge aussi; la limite de J' est alors indépendante de la succession des formes cjue prend la surface S' et la valeur de J est bien déterminée. Un exemple de ce cas de convero-ence est fourni par le potentiel newtonien d'un volume attirant, cjuand le point attiré est ii l'intérieur des masses agissantes. Ce potentiel est, en effet, représenté par l'intégrale triple
a'dT'
l;i ("onction sous le signe ( satisfaisant aux conditions énoncées ; cela suppose toutefois cpe la densité |jl' reste finie.
Les composantes de l'attraction, elles-mêmes, sont données par des intégrales absolument convergentes. Soit, en effet, ;% une limite supérieure de la densité ; on a :
l'une des composantes, par exemple celle qui est parallèle à Ox. a pour expression :
Or on a
et, par conséquent,
x'-xl<r,
X est donc absolument converoente.
31. Intégrales d'ordre quelconque. — Soit n l'ordre de l'intégrale ; quand n est supérieur à 3, on ne peut plus se servir de la représentation géométrique, mais le mode de raisonnement reste le même.
Soit F^Xj, X2,...,x„), une fonction de n variables et considérons l'intégrale d'ordre n :
J = I Fdxj dx, dx^ dx„,
étendue par exemple à un champ défini par l'inégalité
Supposons que F devienne infinie pour un point O du chaiiq), dont nous pourrons supposer les n coordonnées égales à zéro sans restreindre la généralité.
Posons
r- = Xj- + x/+ + Xu'-
ISTÉGIt.lLES D ORDRE QLE LCOSQVE 69
A|)|)cl()iis .] riiiU'giiilc I Filx, dx,, dx„ ('loiuliu' au cliainj) dé-
liiii })ai' les inégalités :
L'intégrale ,1' a nn sens si nous supposons la fonction F continue en tout point du champ primitif autre que le point 0. Si, quand p tend vers zéro, J'a une limite, cette limite définit.!; sinon, J n'a aucun sens; dans le premier cas, il y a convergence et, dans le second, divergence. On peut affirmer la convergence dans le cas où l'on a en tout point du champ primitif :
< , avec a < n ,
M désignant un iumil)ie positif fixe.
32. Intégrales absolument convergentes et intégrales semi-convergentes. — Exemples. — Revenons aux intégrales de ligne, de surface et de volume.
Soit
J=|Fdt,
une intégrale simple, double ou triple suivant ([ue dt désigne un élément de ligne, de surface ou de volume. Supposons que la fonction F devienne infinie ou discontinue en un point du champ d'intégration et qu'on ait démontré la convergence de l'intégrale J. Ou dit que cette intégrale est ahsohinicnt convcri!e/i(e, si l'intéorale
/|F|iat,
étendue au même champ, est elle-même convergente ; dans le cas contraire, l'intégrale J est dite semi-convergente. Xous avons donné (29 et 30) des exemples d'intégrales absolument convergentes. Voici maintenant des exemples d'intégrales semi-convergentes.
Premier exemple. — Soit lintégrale :
z'"" sin ax , dx,
Elle est convergente, car :
ax
lim.
f sin ax , -
. / clx = — ;
elle est semi-convergente, car :
""^ I sin ax |
-. r \ sin a linii^^ /
tlx
Deuxiîîme exemple. — Soit un cercle attirant limité par une circonférence C ; supposons la densité constante et égale à 1; proposons-nous de calculer l'attraction au centre 0 (fig. aS).
Fig. 2).
Prenons pour origine ce point et, pour axes de coordonnées, deux droites rectangulaires Ox', Oy'. L'une des composantes de l'attraction, X par exemple, a pour expression au centre :
dco'.
Cette intégrale est convergente.
En effet, entourons le centre d'un cercle C' conccntric[ue au premier et considérons l'intégrale :
étendue à la couronne comprise entre les deux circonférences.
isTicGRALEs c o .\ \/: li G /■: .\T /■: S rr s/:Mi-(0.\i/:fi(:i:.\T/:s 71
Appelons t le rayon de C, p celui de C et passons en eoordoiinces polaires ; on a :
'sin2 7: — sin 0 lo(r-^:=0.
j^. = Tcos odo /' —
Ainsi J,, est constamment nnlle. Sa limite est Cfjuand : tend vers ro. L'intéofrale X est d<Mic converoente.
Montrons qu'elle est semi-coiiverr);ente, c'est-à-diie ([ne linté-
grale
ne converge pas.
Cette intégrale, étendue ii tout le cercle, est égale au d()iil)le de l'intégrale
étendue au demi-cercle BCAB.
(Calculons donc celle-ci ; si elle a un sens, elle est la limite de la portion correspondante de J,. relative ii la dcMui-couronne BCAEFDB. Or, celle-ci est égale Ix :
?di
/ / ^^«•"^j'-7^=2log-^
quantité (jui augmente indéfiniment quand z tend vers zéro. L'intégrale X est donc semi-convergente. On peut démontrer déplus : étant convergente, elle a une limite quand on entoure le point () d'une courbe C, puis (pi'on calcule l'intégrale relative à l'espace compris entre les deux courbes, et enfin qu'on fait évanouir (/ au point O ; mais, étant semi-convergente, sa limite dépend de la courbe C et de la succession des formes que prend cette courbe avant de s'évanouir au point 0.
C'est ce que je vais montrer.
Supposons d'abord que C soit une circonférence concentrique il C ; la raison de symétrie, comme aussi le calcul lait précédemment, montrent que l'attraction de la couronne au point O est nulle. Etant nulle constamment, elle définit une limite nulle, quand C vient s'évanouir au point O.
Par un autre procédé, au contraire, on peut définir une limite différente de zéro. Dans les raisonnements qui vont suivre, nous nous appuierons sur le lemme suivant :
Lemme. — Deux surfaces attirâmes Iiomothétiques S et S', telles que les densités en deux points correspondants soient égales, exercent la mé/ne attraction au centre 0 dliomotliétie.
Ce lemme est presque évident ;
soient, en effet, deux éléments cor-
S' Z' ., .r — -^ y respondants (fig. 26) doj et dio', r et
r' leurs distances respectives au point 0 ; leurs attractions au point 0 sont :
Fig. 20.
Ces deux attractions diriefées suivaut la même droite sont bien égales, puisqu'en vertu de Thomothétie, on
dco
Cela posé, reprenons notre cercle C et prenons comme courbe auxiliaire une autre circonférence C (fig. 27), non concentrique àC, ayant son centre en un point 0' voisin de 0. Menons la ligne des centres 00' ; cette droite coupe nos deux circonférences aux points A, B pour la première et A', B' pour la seconde.
Supposons que, des deux points A' et B', le plus rapproché de O soit A'; décrivons alors, du point 0 comme centre avec OA' comme rayon, une circonférence C,.
Appelons p, p', pj les rayons des circonférences C, C et C,, puis traçons une circonférence C^ tangente en A à la proposée C et telle que son rayon p^ satisfasse à la relation
ISTÉaitALES COyVF.RGE.XTES F. 7 S E M I -C OS V E RG F ST E S 7>
Alors les deux cercles (1„ et iJ sont lioinothétiijiies par rapixtil
ai point O et le iaj)p(»i'l (riioiiiolliétie est — . D'autre part les
lieux cercles (^ et (1,, ("tant coinriil n(|ues, ont aussi poni' centre d'homothétie le point O et même lapport (riiomotlielie que les deux préct'dents en veitu de la relation 1 . 11 en i(''snlt<' (jur les
