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deux portions de plan couvertes de hachures, Tune comprise entre les circonférences C<, et C, l'autre entre les cii'conférencesd' et (1,, sont homothétiques par rapport au point O. Si donc on suppose la première couverte de matière attirante avec une densité égale à 1 comme celle cjui recouvie le cercle C, son attraction au point () sera la même que celle de la seconde.

Nous exprimerons cette propriété par l'égalité

désignant en général par C,„ — (^„ la portion de plan comprise entre les courbes C„ et i]„, et par A,. ^ l'attraction que cette portion de plan exerce au point O.

Cela posé, ce que nous voulons calculer, c'est la limite vers laquelle tend A^. ^., quand le cercle C vient s'évanouir au point O.

Or, on a évidemment :

ce qui se réduit à :

Ae-,.' = -A,,. (3;

puisque A^^ est uuUe, par raisou de symétrie. Rapprochons les relations (2) et (3)., nous aurons :

Ac-c' = -A,,,. (4)

Faisons alors évanouir le cercle C au point 0 de manière que

le rapport— ^ reste constant, les deux termes de ce rapport ten-

dant vers zéro. En vertu de la relation (i), le rapport—^ — ■ reste

aussi constant et, par conséquent, le cercle C^ reste invariable ; il en résulte que A,. ^ reste fixe.

Ainsi, l'intégrale qu'il s'agit d'étudier, A, ^', reste constamment égale à une quantité fixe — A^ c; on peut donc écrire :

lim. A„

Montrons maintenant que A,. ..^ n'est pas nulle. Cela est presque évident.

Figurons à part (fig. 27 his) les deux circonférences C„ et C; traçons la droite MN perpendiculaire en O à la ligne des centres. Enfin, décrivons une troisième circonférence G, égale a C^, et tangente intérieurement en B à la circonférence C ; cette circonlérence passe évidemment par les points M et N. L'aire atti-

ISTKcniALES CO.WEIiGESTES F. T S F. M I ■ C O y V K RG E M' F. S ;>

raiite C^ — (1 est ainsi divisée en Jeux parties : linu' comprise entre les trois circonférences G, C^ et G, ; Fantre conipiise entre G, et Go ; elle est représentée, dans la figure, couverte de hachures. La première partie a manilestenient une action nulle au point O par raison de symétrie ; quant à la seconde, son action est dirigée suivant la ligne des centres et ne peut être nulle, car tous ses éléments, étant situés d\in même côté de MX, les projections sur AB de leurs actions en 0 sont toutes de même signe.

Va\ ri'sumé, A,. ,. est diirérente de zéro et, par const-quent,

On voit donc que, suivant la courl)e auxiliaii'e choisie pour définir l'attraction au point 0 et suivant la succession de formes par lesquelles on lait passer cette courbe, on peut obtenir pour l'attraction une limite nulle ou une limite différente de zéro, (^ette circonstance caractérise les intégrales semi-convergentes.

Des considérations analogues pourraient être faites au sujet d'une surface quelconque. On verrait, de la même façon, que les composantes de Tattraetion, en un point d'une surface attirante, sont données par des intégrales semi-convergentes.

Au contraire, le potentiel d'une surface attirante, que nous allons étudier maintenant, va nous fournir un exemple d'intégrale absolument convergente.

.').'^ Autre exemple. — Potentiel d'une surface attirante quelconque en un point de cette surface. — Soit S une surhice attirante ; son potentiel en un point M est donné par l'intégrale :

|j.', r, dto' étant les notations connues.

Supposons que le point M soit pris sur la surface S elle-même ; nous allons montrer que l'intégrale précédente garde un sens et est absolument converoente, si la densité 'x reste finie en tout point et si la surface S admet, en M, un plan tangent unicpie.

Menons ce plan tangent (fig. 28); prenons-le pour plan des xy et prenons le point M pour origine; soient P le centre de gravité

TllEORIF DU POlEyriEL i\EWTOME.\

d'un élément tko' de S, P' sa projection sur le plan des xy, cp Tangle de ce ])lan avec le plan tangent en P, enfin x', y', z' les coordonnées de P : on a :

dx'dv'

COS C5

Cela posé, traçons sur S une courbe C entourant le point M et soit C sa projection ; la courbe C partage S en deux zones,

Fig. a8.

S, et S.,, la première. Sp étant celle qui comprend le point M. Appelons Yj et \^ les potentiels rcspectils de S^ et S^ ; on a :

Vg a un sens au ])oint M; il suffit d'étudier V,; cette intégrale a pour expression :

en vertu de (2), on peut l'écrire :

V, =r — ^ dx'dv'.

J r cos cp

Cette dernière intégrale est étendue à une aire plane, a la portion du plan des xy comprise a l'intérieur de ('/.

Or, on peut choisir la calotte Sj assez petite pour, qu'en chacun de ses points, on ait :

ISTÊanALES COSVERGESTES ET SEM I-C 0.\ V E flG E .\TE S 77

a désifiiant un nombre fixe: cela est possible, car. an i)oint M COS 'c est égal ii l.

l''crlvons alors la lonclion sous le sitj;ne j , '- , de 1;

" J l'COS -ç

manière snivanle

en posant

L'intt'grale devient alors :

(3) V, = /^^dx'dy';

' COS 'J

COS 'S