MP

m' peut être considéré comme une fonction de x', y', puisqu'il chaque point P et, par suite, à chaque point P , est attachée une valeur de m ; de plus, cette fonction est essentiellement limitée, car elle est égale au produit de trois autres (pii sont limitées :

•x' Test, i)ar hvpothèse, et '■ — , par construction, enfin — est

inférieur à 1. L'intéorrale CA) est alors le potentiel en ^[ d'une portion du plan des xy, celle que limite C , sur laquelle la densité de la matière attirante est la fonction m'. Nous avons vu 29; (ju'une pareille intégrale est absolument convergente. Le théorème général est donc démontré.

Dans ce qui précède, nous avons supposé, pour plus de simplicité, que la surface S était pourvue d'un plan tangent bien déterminé en chacun des points qui avoisinent le point M. Cette hypothèse n'est pas toujours indispensable.

Prenons, en effet, le cas d'un cône circulaire droit. Supposons que M soit le sommet de ce cône. Prenons pour plan des xy le plan perpendiculaire ii l'axe du cône et effectuons les mêmes transiormations que ci-dessus. On a encore facilement une limite

supérieure de [m [. En effet, a' est une quantité finie ; — est le

cosinus de l'angle crime génératrice du cône avec sa projection ;

— '■ reste éual à Tinverse du cosinus de Tancfle d'un plan tances'f ^ ^ ^

gent au cône avec le plan xy. On peut donc refaire ici le raisonnement indiqué plus haut.

La conclusion subsiste encore si le point INI est un point singulier de la surface S, lorsque le cône des tangentes en ce point est, par exemple, un cône réel du second ordre, ou lorsque ce cône se réduit à un système de deux plans réels distincts. (]ela se voit, comme dans le cas du cône circulaire droit.

34. Analogie avec les séries. — Avant de poursuivre l'application des principes précédents ii l'étude du potentiel, faisons une remarque.

La théorie des intégrales convergentes doit être rapprochée de celle des séries. Les dénominations de coin'ergente, absolument convergente, senti-con^'ergenle, se définissent pareillement dans les deux théories et les propriétés correspondantes sont comparaldes. Les deux théorèmes suivants mettent en évidence cette analogie étroite :

i" Quand une série est absolument convergente, on peut modifier l'ordre des termes sans en changer la somme;

2° Quand une intégrale est absolument" convergente, on peut choisir arbitrairement la courbe ou la surface évanouissante qui entoure le point de discontinuité et la faire passer par une succession quelconque de formes. On peut aussi intervertir l'ordre des intégrations.

Ce dernier point se démontre sans difficulté. Soit, par exemple, l'intégrale double

J = ['frx,y)dxdy,

étendue ii une aire plane S limitée par une conrlje C ; supposons (lue la fonction f devienne infinie en un point M du champ d'intégration et, ([u'en tout point de l'aire, on ail :

, avec a < 2,

M étant un noml)r<' positif fixe ; l'intégrale est alors absolument convergente.

ASALOGIi: AVEC LES SERIES

Fntourons le point M cruii cercle - de ni von •:, avant ce point pour centre. Le champ d'intégration est ainsi partagé en deux parties, S^ et Sp S^ étant la portion du champ comprise ;i l'intérieur de I. Appelons J„ et J, les valeurs de l'intégrale cidessus, ([uand on prend respectivement pour champs d'intégration Sç et S,.

On a :

Pour J,, on peut intervertir 1 ordre des intégrations, puisque la (onction reste finie dans le domaine S^. Voyons ce qui se passe pour J„; on a :

et, par suite,

en prenant o assez petit, on peut rendre [.l„| inférieur h un nonihre -4- donné à l'avance. Intervertissons l'ordre des Intéo-rations : J et J„ deviennent J et J ,,, et. puisque J, ne change pas, on a :

mais on a :

donc :

et, par conséquent.

quel que soit t. Comme J — J est bien déterminé et ne dépend pas de p, on a nécessairement

ce qui démontre qu'on peut intervertir l'ordre des intégrations. Cette remarque permet de démontrer facilement un théorème

8o THÉORIE DU POTENTIEL .\EWTOMEX

relatif au potentiel ; soit T un volume attirant, M un point intérieur, V le potentiel en ]NÎ, et X une des composantes de l'attraction en ce point. V et X sont donnés par les intégrales suivantes :

v=r-i^dT', x=r ^a— ^d^',

Ces intégrales sont absolument convergentes (30)- Considérons l'intégrale quadruple :

Xdx

Xy et Xj désignant les valeurs de x en deux points iM„ et M,. Cette intégrale est absolument convergente. Je me propose de démontrer la relation suivante :

;i) |^\dx = y,-v„,

V, et Vp étant les valeurs du potentiel en M^ et ^I^. Cette rela-

tion serait évidente, si 1 on avait démontre que A = ^;^ — ; cette

démonstration sera laite plus loin dans le cas — qui est le cas actuel — où le point ^I est intérieur aux masses agissantes. Pour l'instant, démontrons directement la relatiou (1). L'intégrale s'écrit :

pdxr -y-^^dT',

1 Jm dx

OU, en intervertissant l'ordre des intégrations :

f ;,/d.' f— ^dx=rf4 dTT''=V,-V„

,/(-r, .'x„ dx Lc't 1' Jmo

ce (pii d('Mmmtre le théorème annoncé.

35. Potentiel neAvtonien d'un volume attirant. Existence des dérivées premières. — Soit T un volume attirant, ^1 un point inté-

/; .V / s /• ENCE D E S DEHIV E E S P H E M I E R E S

ciour aux masses agissantes ; le potenti*'! en M est doimc pat-

rintérriale :

elles composantes de l'altractlon en ce point par les intégrales :

. 1^ ;Vy — z^

dz.

Jt'.

Ces quatre intégrales sont absolument convergentes 30).

Lorsque le point attiré M est extérieur aux masses agissantes, les composantes tic l'attraction sont aussi les dérivées premières du potentiel. Je vais (aire voir qu il en est de même, quand M est

intérieur aux masses agissantes.

Je vais dt'montrer, par exemple, que — - — existe et (lue l'on a :

Traçons (^fig. 29) une sphère ï, avant pour centre M et pour

rayon o. Sur une parallèle à Ox menée par M, prenons un point M' voisin de M et situé a l'intérieur de la sphère ; les coordon-

PoiNCARÉ. Potcnt. Xewt. 6

nées de M et M' sont : pour M : x, y, z; pour ^I : x-f- li? }% J^. Par définition, on a :