X = X,+ X„, X' = X', + XV
et Ton peut écrire :
(]omme M et M' sont extérieurs au volume partiel T,, on peut différentier l'intégrale Vj sous le signe 1 et l'on a, par consé- (juent,
dx
Si donc on pose
EXISTE se E DES DERIVEES PRE MI ERE S
on peut prendre h assez petit pour que la valeur de cette lonction 'i o,h) soit aussi petite que l'on veut. Occupons-nous maintenant de l'expression :
Supposons la densité 'j.' finie dans tout le volume T et soit |x" une limite supérieure de cette densité.
On a :
/' tir'
dT'
doi
X„ I <4-ca,
Cherchons maintenant une limite supéiieure de — ^^-j '■ . l' igu-
rons à part fig. 30) la sphère ï; soit P le centre de gravité
Fi te. -5.
d'un élément d-: du volume T„ ; menons MP et MP, puis posons
MP=r, MP = r',
et rappelons-nous que ]MM':=h. On a :
et, de plus,
r' Y rr'
rr r- r"
d'où
dT'
/' cir /• ciT
limite supérieure de / ~. Pour cela, du point M' comme centre (fig. 31), décrivons une sphère S ayant p + li pour rayon. Les
Nous connaissons la valeur de I -^ , c'est 4-p; calculons une
Fig. 3i.
deux sphères S' et S sont tangentes intérieurement; appelons T'^ le volume compris à l'intérieur de la sphère S'. On a
dT'
etcomme:/ — ^=47i(p-j-h),
on a aussi
On a donc
dT'
ETVbE DES DERIVEES SECONDES
et enfin :
<4- 3 0-4- h <'JL„ 1(1-0'
En somme, nous pouvons écrire rinégalité : Y— V
<'^:o,h^ + 16-VX,.
Cela posé, proposons-nous de rendre le premier membre inférieur h un nombre donné z, en prenant h suHîsamment petit; il nous sullit. j)our cela, de prendre o assez petit pour que
puis, p étant fixé, de prendre h assez petit pour que
on aura, dès lors,
ov
ce qui démontre que la dérivée -:— existe et qu'elle est égale à X.
Le potentiel A a donc des dérivées premières, en tout point intérieur aux masses, et ces dérivées sont égales aux composantes de l'attraction, ce qui fait qu'on les obtient en différentiant sous le
signe I .
36. Étude des dérivées secondes Si l'on différentie une fois de
plus sous le signe I , les intégrales obtenues sont seulement semiconvergentes ; on rencontre ces mêmes intégrales dans la théorie du magnétisme où leur étude est nécessaire; mais, dans la théorie du potentiel, on l'évite par un artifice.
Nous allons démontrer que, si la densité <x a des dérivées de tous les ordres, le potentiel V en a aussi de tous les ordres.
Soit, en effet,
v=ridv
le potentiel ; l'une des dérivées premières, - — par exemple, a pour expression :
OV /'^-(x--x) Ox -J V' "^'
on peut l'écrire :
dT'= —
Ceci posé, rappelons une formule que nous avons démontrée (19), à propos de la formule de Green ; reprenons toutes les notations de ce paragraphe, nous aurons :
(1) /* U. ^à.'=f aU^V.dco - />. ^ dx',
la première intégrale et la troisième étant étendues au volume attirant T que nous considérons; la deuxième, à la surface S qui limite ce volume. Servons-nous de cette formule pour transfor-
mer 1 intégrale -^^ 5 posons :
la formule (1) nous donne alors
dT' =
. Oa'
On voit donc que, si -^^ existe, 1 expression de -- est égale à la : un potenti
t.'(Si '
somme de deux potentiels : un potentiel de surl'ace
et un potentiel de volume
KTUDE DES DERIVEES SECOSDES
or, le premier a des dérivées premières, en tout point non situé
sur la surface; quant au second, il en a, de même (35\ en tout
.... . . ^\ , -ri
point intérieur ou extérieur;-^-— en a donc aussi, saul sur la sur- ' Ox
lace; par conséquent, V a des dérivées secondes en tout point d<' l'espace, sauf, peut-être, sur la surface ; à leur tour, les potentiels du second membre de la formule (2 ont des dérivées secondes, si les dérivées secondes de <x existent et, par suite, V a des dérivées troisièmes; le raisonnement se poursuit ainsi de proche en proche et le théorème annoncé se trouve démontré.
37. Formons l'expression de chaque dérivée seconde et celle de leur somme; la formule (2! nous donne :
On peutdifterentiersousle signe ( dans le second membre ; on peut donc écrire :
Ox^
rdT'
on a pour -—7 et --— r fies expressions analogues. Ajoutons-les
membre à membre, nous aurons
"'TI ,w
Y J ÔU.'
dz'
