Equation de Laplace. — Formons les dérivées secondes

— - — -, — : du ])otentiel newtonien en un point distinct des ôx" dy- Oz-

points attirants.

^=3ym"-''"-y

Ajoutons ces trois relations membre à membre et appelons, suivant la notation connue, AV la somme des trois dérivées secondes que nous venons de calculer ; il vient :

Le potentiel newtonien satisfait donc, dans Vespace à trois dimensions, à V équation de Laplace \N =■ 0 en tout point distinct des points attirants.

Pareillement, le potentiel logaritlunicjue satisfait, dans le plan ^

a t équation de Laplace-—- — \ — ^^^- = () que Ion cent encore

os.' Oy- ^

AV = 0. On a en effet pour ce potentiel :

Ox^

^2Ym^^^-;"'' -y-^

.^2Vm-iiir:lil-V-

!■: Q UA nos DE LA PLACE

Ajoutons membre à membre en remarquant que

(a-x)^+(b-y)^=r^ nous aurons :

Ox- ' M'

On peut, de même, définir, dans l'espace à n dimensions, un potentiel analogue au potentiel newtonien dans l'espace à trois dimensions et au potentiel logarithmique dans le plan. Appelons X,, x^,...x„ les coordonnées d'un point de l'espace à n dimensions ; le potentiel en question sera une fonction \ de n variables satisfaisant à l'équation :

Ox.- ' Ox.

qui est la généralisation de l'équation de Laplace. Le potentiel ainsi obtenu correspond à une attraction proportionnelle à — -—^ :

r désigne toujours la distance du point attiré (Xj, x,,..., xj à un point attirant (aj,a^,..., a^) et est donné par l'expression :

5. Limites supérieures des dérivées de — . — Avant d'aller plus loin, nous allons indiquer des limites supérieures pour quelquesunes des dérivées de — . Ces limites supérieures nous seront r ^

utiles dans la suite. On a :

Kl)

Ox'^

ÔX'

6 THÉORIE DU rOTESTIEL yEWTOXIEy

et des formules analogues pour les dérivées en y et en z. On conclut sans peine de ces formules les inégalités suivantes :

et ainsi de suite.

6. Potentiel des corps continus. — Jusqu'ici nous n'avons considéré que des points attirants discrets. Considérons maintenant des distributions continues de masses attirantes ; il y en a de trois sortes : volumes, surfaces, lignes. Nous allons étudier leur action sur un point ^NI (x,y,z) portant l'unité de masse et définir un potentiel. Nous envisagerons d'abord le cas où le point M est extérieur aux masses agissantes, c'est-a-dire tel qu'on puisse entourer ce point d'une surface fermée de dimensions finies ne contenant aucune des masses considérées.

i" 1 ubiDies (tllininls. — Soit un tel volume ; appelons (fig. 2)

d-', un élément de ce volume;

x', y', z'. les coordonnées de son centre de gravité ;

rOTESTIEL DES COUPS coxrfxus 7

•j.', l;i densité en co point ;

X, V, z, les coordonncM's dn point iitlin-j

•JL est une (onction de x , y, z .

l/el»'Mnent cIt exerce sur M une attiaelion dont la composante jtaiallèle à ( )\ est :

a'dTi'x'— x) ,

^-y i-=i,,x — xj-;

la composante relative au volume tout entier est :

/• |Jl. dT x' — x^l • ^J~ ? '

les deux antres composantes sont de même :

,, /' a'dTiv' — v)

/' u'dT z' — z") et le potentiel :

les intégrales étant étendues au volume considéré. Y, X, Y, Z sont des fonctions de x, y, z.

(lalculons les dérivées du premier ordre de A . Montrons qu il sulfît, pour les obtenir, de difïerentier la fonction qui est sous le signe I et d'écrire par exemple :

Ox Posons en effet :

Y=J;^ï(x,y, z)ch'.

« TllÉOnif: IJI POIFISTIEL AEWTOMEA

Pal- définition :

OA'

/ p. I (x + 11, y, z; fh' — / |j.'r (x,y, zi Jt' ,

Ox " ' h

quand h tend vers 0, ce qui donne :

11 est facile de voir que :

h j[xi^"j ix + Oh, y, z) dT', tend vers 0 avec h; car, en vertu des inégalités (1), on a :

r désignant la distance au point x', y', z' du point M'' qui a pour coordonnées x + Oh, y, z (fig. 2). Or, quel que soit le point x', y'^ z', r est inférieur à M'' Q, Q désignant le point du volume le plus rapproché du point M". Bref on a :

rv^(x+eh,y,z)

De plus, lorsque h tend vers zéro, M " tend vers M et M"Q tend vers une limite différente de zéro, puisque M est extérieur au volume attirant; donc le produit :

hfV(x + eh,y,z),

lend vers zéro avec h et, en vertu de la relation (1), on a :

ÔV

[xT^fx.y, z) à-z-

ce qui démontre la proposition annoncée, Remplaçons maintenant-

par sa valeur,— — prend la lorme

Ox Ox

POTESTIEL DES CORPS COSTISUS 9

Pareillement :

foi'miiles identiques à eelles que nous avons trouvées clans le cas d'un potentiel de points attirants diserets.

Comme nous avons din'érentié une première lois sous le signe I et pour la nièine raison, nous pouvons diflérentier une deuxième lois et obtenir ainsi les dfMivées secondes de \ . On peut donc écrire :

Le polentiel cV un volume attirant satisfait donc à fcrjuation de Laplace en tous les points extérieurs aux niasses agissantes.

2" Surfaces attirantes. — Lignes attirantes. — Les mêmes considérations s'appliquent aux surfaces et aux lignes attirantes. Désignons par dw' un élément d'une surface attirante (S. et par dr un élément de longueur d'une ligne attirante iL), les autres notations gardant les mêmes signi(icati(>ns ([ue précédemment ; on a pour les potentiels les expressions suivantes :

Surface : ^

Ligne : V = / ■^— àV .

la première intégrale étant étendue à la surface entière et la seconde îi tous les éléments de lono;ueur de la lierne.

Les composantes de l'attraction s'obtiennent de même en différentiant sous le signe I :

Surface

etc

THÉORIE DU rOTEyriEL yEWTOMEN

Ligne : X =

Enfin les dérivées secondes s'obtiennent encore par différen

tiation sons le signe 1 et vérifient par conséquent l'équation de

Laplace :

Tout ceci ne s'applique, comme pour les volumes, qu'aux points extérieurs aux masses agissantes.

3** Potentiel logaritlunique. — Il possède dans le plan — toujours en dehors des masses agissantes — pour les aires et les lignes attirantes les propriétés que nous venons de reconnaître au potentiel newtonien dans l'espace.

7. Propriétés à l'infini. — Soit o la distance à l'origine du point attiré M ; quand M s'éloigne indéfiniment, c'est-à-dire quand p z

croit indéfiniment, le potentiel ueAvtonicn V en ]M tend vers 0. C'est ce que nous allons '^' prouver en montrant que le produit oV tend

vers une limite finie et en calculant cette limite.

/' li O P H 1 /•; T !■: s A L I.M f.M 1 1

Soit fio-. 3 T uu volume attirant, d-: un T'iémcnt de ce volume, V son centre de gravité, a la distance de P à l'origine O des coordonnées, M le point attiré, r la distance PM et z la distance O.M. On a :

et. par suite, on peut poser :

h étant compris entre — i et +1.