I.e potentiel Y a pour expression
Formons le produit z\ :
les intéiri'ales étant étendues au volume T.
De l'égalité (4), on tire :
\v ù'd.=-/^ii^.
On voit sans peine que le second membre de cette dernière é'galité tend vers 0 quand c augmente indéfiniment. On a donc :
LimfpV — |';jLdT'j= U,
ou
Lim pY -= fach' = M,
en appelant M la masse attirante totale.
Le raisonnement s'étend sans aucune modification au cas d'une surface attirante, d'une ligne attirante ou d'un ensemble de volumes, de surfaces et de lignes.
8. — Passons au cas du potentiel logarithmique dans le plan. Soit S une surface plane attirante. Le potentiel Y en un point M
de son plan (fig. 4 a pour expression, en reprenant les notations connues :
=/:-'iog-^
dit)'.
Fiî
Voyons comment Y se comporte à l'infini. Posons : ^^o = log-^r|/dco' = Mlog^,
M désignant la masse attirante totale et p la distance du point M a l'origine. Formons la différence Y — Y^ :
Y-Y„=Jj.' log-^ doV = -j',. log-^±^
doj'.
Or on a :
Oa
= log(i+ —
a désignant une limite supérieure de a ; on en conclut :
< /a' — d(0' < — |JL / d(o',
[i-o étant une limite supérieure de [jl'. Si Ton désigne par S l'aire de la surface attirante, on a :
=Jdco',
POTESTIEL y-EWTOMES D'iSE Si RE ACE SPIIÉRIQUE HOMOGÈNE il
et l'on voit que :
par consé([ueiit :
Kim I V— V
(luaiul 3 augmente indéfiniment.
On peut donc écrire l'égalité asympt()ti([ue :
VcoM. log-^.
9. Potentiel newtonien d'vine siirface sphérique homogène. — Nous allons, à titre d'exemples, calculer le potentiel dans quelques cas simples.
Soit une surface attirante sphérique, homogène, de densité ;j.'; soient 0 son centre, a son rayon fig. .") et M, un point extérieur.
Fig. j.
pour lequel nous voulons avoir la valeur du potentiel. Soit P le centre de gravité d'un élément dw' de la sphère; menons le diamètre x\B issu de M. Posons :
MP = r; OP = a; OM = p; angle MOP='i. Le potentiel en M a pour valeur :
i4 THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEX
OU, en supposant l'unité de masse telle que ;j.'= i.
.=/-icuy,
l'intéo-rale étant étendue à la surface de la sphère. C'est cette intégrale que nous nous proposons d'évaluer.
Décrivons, de A et B comme pôles, une infinité de petits cercles sur la surface de la sphère; nous découpons ainsi la surlace de la sphère en une infinité de zones infiniment étroites. Projetons la figure sur un plan passant par OM cjue nous prendrons
Fi g. 6.
pour plan de la figure (fig. G). Soient CC et DD' les plans de base de l'une des zones; C"D" est sa hauteur. L'aire dw' de cette zone est donnée par :
dw' = 2 TOI. C"D" = 2 Tia. a sin B dB = 2 -a^ sin B dB .
La densité de la matière attirante étant éo-ale à l'unité,
2 7:a- sinOdB représente aussi la masse répandue sur la zone et le potentiel auquel elle donne lieu en M est :
27ra^sin6d^
Le potentiel Y de la surface sphérique est donc
/"= 2 7ta^ «
in 9
do.
POTENTIEL D'VyE SPHERE PLEISE i ">
(l'est une prcmiî're inodificalioii de riiiir'grale Ç)^. Transfoiinons-la encore ; on a :
r- = a- + p' — 2 ao cos 0,
d'où :
rdr = as sin Odf>,
et
sinfidO dr
r ap
et en portant cette valeur dans l'expression 6) :
/^r" '^Tra- 2 -a /'?"' 4 -a^
(7) V= ^dr = -^ ch-=-^.
Or 4-a- est la valeur de la masse totale attirante M; on peut donc écrire :
comme si la masse entière était condensée au centre.
Si le point M, au lieu d'être extérieur à la sphère comme dans le cas précédent de la figure 6-, était intérieur, les limites de l'intégrale (7) seraient a — p et a -|- p ; la valeur du potentiel serait alors :
~ p cL? ~'^'" ~ a ~ a *
Ainsi, h l'intérieur de la sphère, le potentiel est constant et
esfal a — ; 1 attraction est nulle.
10. Potentiel d'une sphère pleine. — Commençons par calculer le potentiel d'une couche sphérique homogène infiniment mince.
Soit (fig. 7]J une sphère de rayon a recouverte d'une couche de matière attirante dont la densité, constante, est égale à u.' et dont l'épaisseur est uniforme, très petite et égale à s. Un élément P de la sphère, dont l'aire est doi', porte une quantité
(le matière égale à £;jl'cIoj'. Son potentiel en un point M extérieur est :
Le potentiel V de la couche est donc : f , d(o' , /' d(o'
le calcul est le même que pour une surface attirante dont la den-
sité serait £tjL'; 4 -a- sa' n'est autre que la masse totale ÎNI de la couche et Ton a :
La dérivée (ournit la valeur de l'attraction : ^,
Pareillement, le potentiel en un point intérieur est constant
et égal à :
le potentiel étant constant à l'intérieur, l'attraction est nulle. On en conclut sans peine la valeur du potentiel d'une sphère pleine composée de couches concentriques homogènes. En un point extérieujv, on a encore :
