V- ch
or l'intégrale du second membre a pour valeur 47:;jL[,p, celle du premier est donc inférieure à 12-[jL'„p; elle tend vers zéro avec p.
Bref on peut écrire :
z tendant vers zéro avec o ; comme AV et [j. ne dépendent pas de p, on a rigoureusement :
AV = — 4-a.
C'est la formule de Poisson.
Remakqie. — AY, considéré comme fonction de x, y, z, est continu, à l'intérieur et à l'extérieur du volume, mais éprouve une discontinuité, quand on franchit la surface; il en est, de même, de chacune des dérivées secondes de V et des dérivées d'ordre supérieur.
39. Potentiel logarithmique d'une surface attirante. — Tout ce que nous avons dit du potentiel newtonien d'un volume est vrai du potentiel logarithmique d'une surface attirante.
En un point M de la surface attirante, le potentiel logarithmique Y est représenté par l'intégrale double :
/ lo<x —^ ij,'d(.>'.
et l'une des conqîosantes X de l'attraction par :
/ ^^^-<xdo)'= l— — ( loff — ^ 1 a'd(o'.
On démontre sans peine que ces intégrales sont absolument convergentes et que l'on a :
OY
Ox
SURFACES ATTIRASTES 9'
L'équation de Poisson devient
Tout cela peut se démontrer directement ; mais on peut le considérer comme une conséquence des propriétés du potentiel newtonien : on a démontré, en effet (15;, que le potentiel logarithmique d'une surface plane est le même que le potentiel newtonien d'un certain cylindre ayant cette surface pour section droite. La matière attirante qui remplit ce cylindre a une densité constante et égale \\-rr [J- , tout le long d'une même génératrice, a'dési-
gnant la densité superficielle de la section droite dont on étudie le potentiel logarithmique, au point où elle est rencontrée, par la génératrice considérée.
