SURFACES ATTIRANTES

z' osl une fonotion tic \', y'; appelons-la f \', y"). I/rquation

est l'équation de la surface.

D'après notre hypothèse, z'est développablc, au voisinage de M„, en série ordoinuM' suivant les puissances croissantes de x', y'

et le développement commence par des termes du second degré, puisque le plan des xy est tangent en M^; il est donc de la forme :

z' := ax'--f- hx'v'H- cv'-'H-

Dans nos démonstrations, nous ne ferons usage que des termes du second degré; c'est ce qui fait qu'elles seront encore vraies, en supposant seulement l'existence d'un plan tangent unique et de rayons de courbure principaux bien déterminés.

Cela posé, nous menons les droites, MM^,]MP, MP', M^P, M^^P'. La droite MM^ sera représentée par deux équations :

Posons

az,

M„P = iv

MP = r;

MP' = r'

On a évidemment :

r'2 = (x — x';- + (y— yO^+zS

Appelons maintenant cp l'angle du plan tangent au point P avec le plan des xy; la projection dx'dy', sur le plan des xy, de l'élément doj', qui a son centre de gravité en P, a pour expression :

dx'dy' = cos cpdto'.

On peut tracer, autour du point ]M„, sur la surface, une courbe C (fig. 33) telle que, en tout point de la portion S^ de S qu'elle enferme, l'on ait :

cos C2

0 étant un nombre donné. Gela est possiljle, puisqu'au point M^, on a coscp ^ 1 et que la surface est régulière autour de ce point. Appelons Sj la partie restante de la surface. Le potentiel de S, et les composantes de son attraction sont des fonctions holomorpbes au voisinage de M^ qui n'est pas sur S, et restent continues, par conséquent, quand on franchit la surface en ce point. Pour l'étude des discontinuités, on peut donc remplacer la surface entière S par la calotte S^.

Il nous reste à faire une dernière hypothèse : la densité jj.' qui est fonction de x' et y' sera supposée, pour la commodité des explications, fonction analytique de ces variables, c'est-à-dire déve-

.s iniw c /■: s A TTin.i .v te s 9')

loppable en série entière. Pour y.' comme pour/.', colle hypolhèse est trop particulière; toutes nos démonstrations subsisteront en supposant (pu^ <x' est continue, ainsi que ses dérivées premières, et qu'elle admet des dérivées secondes finies; dans certains cas même, l'existence de dérivées premières finies suffii-a et parfois simplement la continuité de u'.

Si l'on su|)|)i)se 'x continue, ou |)iMit assigner à — * une li-

mite supérieur»» *' sur toute l'étendue delà calotte S,^; on ponna donc écrire

'JL

41. Ces notations étant établies, faisons quelques renuirqucs dont nous nous servirons souvent dans la suite, i" Considérons le rapport

c'est une fonction de x', y', z et, comme i\, et r sont des fonctions

continues, la fonction — — Gsi elle-même continue, sauf penl-ètie

en un cas, celui où r est luil. Montrons que, même dans ce cas, ce rapport reste fini.

Sir'- est infiniment petit, r„- l'est aussi; leurs parties principales sont :

pour r- : x — x' ■ + (y — y' - -|- z" pour r^,- : x'- + y'-.

car z , considéré comme fonction de x', y', est un infiniment petit du second ordre.

La partie principale du rapport — V-est donc

(x— x7+(y — y7ce qui peut s'écrire :

expression qui reste toujours finie. Le rapport —~ et, par suite, le rapport — — restent finis. On peut donc assigner à ce dernier une limite supérieure A et écrire :

D'une manière analogue, on démontre que les deux rapports

-—.et — restent finis. On peut, par conséquent, trouver deux r r

nombres positifs B et C tels que :

-^<G et — <B.

2° Considérons maintenant le rapport

Ce rapport est fini, tant que r est diflerent de zéro ; je vais faire voir qu'il en est de même quand r s'annule.

Quand z' est infiniment petit, sa partie principale est de la forme :

ax'- -f- bx'y' + cz'-,

comme nous l'avons vu précédemment.

La partie principale de — 7- est donc

ax'- + bx'y' + cv' qu'on peut écrire :

"'T)'+''TT-+Ki

-' V. ly .,+1

Sous cette forme, on voit que ce lapport reste toujours fini. Nous appellerons Dune limite supérieure d(; ce rapport. AljQrdons maintenant l'étude du potentiel de S.

srii/'ACES ATTIRASTES 97

42. Etude du potentiel. — Appelons V et Y„ les potentiels en M et My de la siiilaee entière S; V et V^ de lu calotte S„ : V'et V'o' ceux de la portion restante S,. On sait que V^ est expiinn'par une intégrale absolument convergente (33) . Nous allons démontrer ([ue 1 on a :

lim V^^',^,

quand M tend vers M^. On a, en eflet, d'oii :

Considérons V et Yg; ces quantités sont données par les intégrales

que l'on peut écrire :

r a'dx'dv' ,. , r y/dx'dv'

J r cos '.3 / r„ cos '.i

Choisissons la courbe C de manière que sa projection C sur le plan des xv soit une circonférence, ayant pour centre M^ et un rayon égal à p.

Les intégrales V/ et Y' sont étendues ti Taire de ce cercle.

On a, en vertu des hypothèses et des remarques faites (40 et 41) :

r dx'dv' /' . dx'dv' r A-'dx'dv' \'</ -■ </ A-; --</ ' , •

Toutes ces intégrales sont étendues au cercle de rayon p. On peut alors écrire :

car on voit facilement, en partageant le cercle en anneaux con-

,,.,,, , , /'? dx'dv centriques, que 1 intégrale du second membre / ~ — a pour

valeur 2~z.

PoiNCARÉ. Poteiit. NewI. 7

Bref, on a l'inégalité :

De même, on démontre que :

On a, par conséquent, l'inégalité :

I V'Y;|<27.(A+l)r?, et Ton peut rendre p assez petit pour que Ton ait :

t étant un nombre choisi à l'avance.

Considérons maintenant V" et V,'/ potentiels, en M et M,, de la portion restante S,, de la surface ; p étant fixé par l'inégalité précédente, rapprochons le point M du point M^ assez pour que l'on ait :

cela est possible, puisque V" est une fonction qui reste contiiîue, quand on franchit la surface au point M^. Mais, d'autre part, on a :

on a, par suite,

1 V-V„ I < I Y'-Y: I + I V"-Yé' I <e;

ainsi, on peut rendre la difTérence Y — Y^ aussi petite qu'on le veut, en rapprochant suffisamment M de M^; par définition, on a donc

]imY = Y„,

quand M tend vers M^.

Remarque. — D'après la démonstration précédente, on voit que le potentiel V, continu en tout point de l'espace extérieur, reste continu quand on franchit la surface attirante.

SLni'ACF:S ATTIItA.\rES 99

Ce potentiel V est une lonotion tle la lorme

et, ce qui a j<»ué le lùle essentiel dans la clcinonstiatlon, c'est qu'on a pu assigner une limite supérieure ii la fonction 1.

On peut donc dire, qu'en général, toute fonction de la forme ' \., est continue dans tout l'espace si l'on peut assigner une limite supérieure à la fonction f qui figure sous le signe | . et cela est vrai, même si cette fonction dépend, non seulement de x',y', mais encore de x, y, z.

43. Préparation à l'étude des composantes de l'attraction. — Klablissons le lemme suivant :

Lu.MME. — Soit l'intégrale simple :

(z) =/ :^,. dx,

où X désigne la variable d'intégration et z un paramètre. C'est une fonction de z.

Faisons les hypothèses suivantes :

i** L'intégrale

/V. dx

reste finie et tend vers une limite finie, quand /augmente indéfiniment.

2° '^(x) reste constamment positive quand x varie de 0 à x .

3'^ La fonction f (x, z) admet une limite supérieure A, de telle sorte que l'on a :

4" Enfin l'on a :

liin I X, z = 1 ,

quand z tend vers zéro, quel que soit x, même s'il varie, pourvu qu'il reste fini; en d'autres termes, f(x, z) tend tinifonnément vers 1, quand z tend vers zéro, pourvu que x reste compris entre 0 et une limite supérieure fixe L.

Je dis alors que, si l'on Tait tendre z vers zéro et augmenter '/ indéfiniment, on a :

lim J (z]

Pour démontrer ce lemme, posons :

'? dx

En vertu de la première hypothèse, l'intégrale a un sens quand p est infini et l'on peut écrire :

linv.e(p)=0(x).

On sait d'autre part que, si F(x) et <I*(x) désignent deux fonctions de X continues dans un intervalle a, b, le théorème de la moyenne donne :

f F (x) $ (x) dx = F (i) f '<!> (x) dx avec a < i < b ,

pourvu que $ garde un signe constant dans l'intervalle a,b.

Appliquons cela à l'intégrale J(zj en remarquant qu'on peut l'écrire :

on aura :

dx,

ou bien :

(i) j(z) = f(i,z)e(p) + i-(i',z)Lec/0~o:p;],

avec les inégalités :

0<ç<p et p<i'<'/,.

Transformons la relation (1), on a :

+ f(i',z)[oc/)-e(p)],

sinr.irEs .iTTiR.i.yTEs i„,

ou oncore

j(z) = r,^=,z;e(x} + [r:i,z}-r(i',z;][Q(p)o(x;] + r';',z ffi"/; — fi'x>].

On a, en oiitic, les inégalités suivantes :

on peut donc poser :

£ et c, étant des fonctions de ç et ; , restant toujours comprises entre — 1 et -h l- Posons encore :

f(i,z;rx) = fi,;x) + B.

B tend uniformément vers zéro quand, ; restant fini, z tend vers zéro, car, dans ce cas, Lim f(ç,,z) = i. L'expression de .1 (z) devient alors :

j (z; = fj ;x ; + B H- 2 £,A [0 [z] f) ;x ;] 4- -v [h ;/: — o ;x ;],

d'où :

(2) J(z; — (J x; = B + 23,A[0 p — 0 y: ]-{-t\[H / 0 xj. Or, nous voulons dénn)ntrer que :

iimj(z}= f -iJiL=e:x),

OU, en d'autres termes, que le premier membre de la relation (2) tend vers zéro, ou, si l'on vent, que l'on peut prendre 7, assez grand et z assez petit pour rendre l.l(z) — ^(^)| inférieur h un nombre donné y,, aussi petit que l'on voudra.

Cette démonstration se fait facilement à l'aide de la relation 2); on a :

(3) 1 i >; — <j x ; j < 1 B 1 + 2 A I «J >; — fJ X ; I

Le second membre de cette inégalité se compose de trois termes.

On peut prendre p assez grand pour que le deuxième terme 2 A |f) (p) — 8 (x )[ soit inférieur à ^1 •

On peut de même prendre x assez grand pour que le troisième terme A|[0'x' — O'cc )]| soit, lui aussi, inférieur à -7^ "

p et 7, étant ainsi fixés, ^ et ç' restent finis, quel que soit z, et l'on peut prendre z assez petit pour que |B1 soit inférieur

à T^ , puisque, ; et ;' étant finis, B tend uniformément vers zéro.

0, 7. et z étant ainsi choisis, on a :

Le lemme annoncé est donc démontré.

44. — On peut démontrer un lemme semblable pour les intégrales doubles.

Soit l'intégrale :

T / ^ r ^V'^' y' ^) 1 1 J iz=: / — ^-~ — r^ (Ixdy,

étendue à une aire plane S limitée par un contour C qui tend à embrasser tout le plan. C'est une fonction de z.

On fait les hypothèses suivantes :

i° L'intégrale

- dxdv

garde un sens et reste finie quand on l'étend à tout le plan.

2° La fonction '^ (x, y) est positive en tout point x,y du plan.

3° La fonction f(x, y, z) reste finie et l'on peut lui assigner une limite supérieure A.

4" Cette même Ibnction f tend uniformément vers 1, quand z tend vers zéro, le point x, y restant à l'intérieur d'un contour fermé, aussi étendu qu'on le veut, mais fixe.

Dans ces conditions, je dis que l'on a :

, ^ /' dxdv