J O ,\, VI
. , , / dxd' lim J 1 >
SURFACES ATTIRAS TES loJ
l'intégrale du second membre étant étendue à tout le plan, lorsque la courbe C s'agrandit indéfiniment et que z tend vers zéro.
Pour démontrer ce lemme, on considère un cercle 1 avant pour centre l'origine et pour rayon p ; on pose :
r dxdy
La première hypothèse montre que 0 ^x ■ a un sens et 1 on peut écrire :
lim,^« h [z] =h 'x).
Cela posé, supposons le contour C assez grand pour que S contienne I et appelons
les valeurs de l'intégrale proposée
dxd>
quand on l'étend respectivement au champ C tout entier, au cercle -, à la portion comprise entre C et -. On a évidemment :
L'application du théorème de la movenne à chaque membre de l'égalité [ï permet décrire l'égalité :
(2) j ,v = f ;, ^, z; e >: + f ;i', y;, z % — h yi
f)c désignant la valeur que prend l'intégrale / — '- — ^, quand on
1 étend au champ limité par la courbe C ; ç,r, désignant les coordonnées d'un point situé à l'intérieur du cercle I ; ; ', y/ celles d'un point situé entre les courbes C et 1^.
Le reste de la démonstration se fait comme pour le lemme précédent.
45. Composantes de l'attraction. — Les composantes dirigées suivant M^X et M^,\ s'appellent composantes tani^cntielles; elles
io4 THEORIE DU POTENTIEL XEWTONIEN
sont exprimées par des intégrales qui varient continûment (juand le point M se déplace et franchit la surface au point M,,.
La composante dirigée suivant M„Z, dite composante noi-male, est exprimée par une intégrale semi-convergente et éprouve une brusque discontinuité quand on franchit la surface.
Nous allons préciser ces énoncés en commençant par l'étude de la composante normale.
46. Etude de la composante normale. — La composante normale Z est exprimée par l'intégrale :
qui peut s'écrire :
(1) z=/"^<ic,v-/'i;^<u,/,
C]es intégrales sont étendues à tous les éléments dco' de la surface attirante.
Z est ainsi exprimée par la différence de deux intégrales que nous allons examiner successivement.
Remarquons tout de suite, qu'au point de vue de leurs discontinuités, il suflît d'étendre ces intégrales à la calotte S^.
l*laçons-nous donc dans ce cas.
Voyons d'abord la première Z^ = / ^ .^ d(o'; transformons-la :
cos ':> r- r '
l'intégrale du second membre est de la forme
rf(x^y')dx'd/ on posant :
cos c2 r-
Si'IiFACES A rTini.XTES
La fonction f reste finie puis([ue :
io5
COS 'J
< -.' et
et que, par suite,
|rx\y'; |<vD.
L'intégrale considérée est donc 42 une fonction continue.
47. — Etudions maintenant la seconde intégrale qui entre dans l'expression de Z. Cette intégrale est :
On peut l'écrire
J r r COS -i
ou encore, si l'on appelle 'x la densité au point M,,,
en posant :
'. \-l ^rl .,^
dx'dy',
' r cos'.i 'X
Changeons de variables et posons :
La fonction sous le signe 1 dans 71^ est ainsi transformée en une fonction de ;, y,, z.
Voyons quel est le champ d'intégration.
L'intégrale Z^ était étendue, dans le système des anciennes coordonnées x', y', z, l\ la projection S „ sur le plan des xy de l'aire S^. Nous pouvons toujours choisir le contour de S,^ de
io6 THÉORIE DU POTENTIEL NEWTOMEX
manière que S'^ soit un cercle, ayant le point jM^, pour centre. Soit p son rayon ; l'équation de ce cercle est :
Par le changement de variables, l'intégrale (1) devient :
didr,,
cette nouvelle intégrale étant étendue au cercle S„ :
lequel tend à embrasser tout le plan des ;/, , quand z tend vers zéro.
Cela posé, examinons la fonction À.
D'abord elle reste toujours finie; car on a, en vertu des inégalités démontrées au paragraphe 40 :
Je dis, de plus, que cette fonction tend vers 1 uniformément quand, ^ et r, restant finis, z tend vers zéro.
Considérons en effet le rapport ^ — ^, il a pour expression en
général 3
Remplaçons, dans ce rapport, z' par son développement en fonction de x', y'; ce développement est, d'après nos hypothèses, une série entière procédant suivant les puissances croissantes de x', y' et commençant par des ternies du second degré :
z' = ax'- + bx'y' + cy'" +
Le rapport ci-dessus peut donc s'écrire :
L (x' - x)-^ + (y' - y)^ + (ax- + bx'y' + cy^ + - z)^ J '
sriir.iCEs ATTiRA.\ri:s u,-
Exprimons-le ;i laiilc des nouvelles v;iri;tl)les ;,/, , z, il ilevini-
V^-hl
'^ " H- i«^'z + Inr.z H- cr,-z +.
Quand z tend vers zéro, ; et t, restant finis, ce rapport tend
vers
Ainsi — • .considéré comme fonction de c,r et z, tend vers 1 r'
quand. ; et t, restant finis, z tend vers zéro: on peut d(»ne écrire :
£j étant une fonction de ç, -/-..z qui s'annule pour z = o, si ; et y. sont finis, quelles que soient d'ailleurs leurs valeurs. Considéions maintenant l'expression :
cos
cos;
- est 1
Nous avons supposé que — ^ — est développable en série procé-
cos -s,
dant suivant les puissances croissantes de x' et y ; il en est donc
de même de . puisque 'x est une constante. Le terme tout
'JL cos -.i ^ '
connu dans ce développement est évidemment la valeur de l'expression considérée pour x' ^ v' = o. c'est-à-dire pour le point My. Or, en ce point, on a :
|ji.' = 'X et cos '^ = 1 ; on a donc :
cos 'i 'X
au point M,, et l'on peut poser, en général,
cos -i 'X
io8 TIlEOniE DU POTENTIEL NEWTOMEN
t^ étant une fonction de x', y' qui s'annule en M„; si nous considérons l'expression étudiée comme une fonction de ç, /,, z, on peut encore écrire l'égalité (3), £, désignant une quantité qui s'annule quand z s'annule et que ; et rj restent finis, étant d'ailleurs quelconques.
