I.a (onction A prend ainsi la lorme

Dans cette formule, Sg est, comme z^ et s^, une fonction de ;,/•,, z qui tend uniformément vers zéro, quand z tend vers zéro.

11 est donc démontré que la fonction \ tend uniformément vers i, quand z tend vers zéro, i et r, pouvant varier, mais restant finis.

Dans cette démonstration, nous avons supposé que la densité yJ est une fonction analytique de x',v', au voisinage de M^. Cette hypothèse n'est pas nécessaire; il suffit de supposer C[ue la densité ;ji.'est simplement continue par rapport aux variables x',y'; elle est alors uniformément continue par rapport à z et l'on peut écrire encore la relation (3).

Reprenons maintenant l'expression 2 de Z, :

Z, = / -j^ ^ ^dçdri.

et considérons la fonction

([ui entre en dénominateur sous le signe 1 .

Cette fonction a évidemment un signe constant; de plus, elle est telle que l'intégrale J„,

dEdr

r\-i , fo ., V-i 1 1 ■*

étendue au cercle )ù^^ défini plus haut, Icncl vers une limite J,

SURFACE S A m II A .V /' E S 1 09

quand k' cercle ï,, s'étale iiidéfinimeiit et teiul ii embrasser tout le plan.

Nous démontrerons cette propriété tout à l'heure ; admrttoiisla pour l'instant et tirons-en des conséquences.

L'intéffrale Z, a ainsi été mise sous la forme :

Nous pouvons lui appliquer le lemnie démoiilrt' au [)aragraphe précédent; /. possède les propriétés de la Ibnction f et A celles de C5. Cette intégrale a donc une limite, quand z tend vers zéro et que le cercle -^ s'étale indéfiniment, et cette limite est égale it celle de l'intégrale J^, c'est-à-dire ii i^. On peut donc écrire :

lini,=„ / -^- d;dr. =^ J,

lim,=„Z, = J,.

Démontrons maintenant que la limite Jj existe et évaluons sa valeur.

Considérons donc lintéorale :

d£dr

étendue au cercle Z^

et calculons sa limite quand -„ s'étale indéfiniment, c"est-ii-dire, en revenant aux anciennes variables, calculons la limite de l'intégrale :

r zdx'dv'

quand z tend vers zéro.

Figurons (fig. 34) l'élément ab :^clx'cly' du domaine Se dans le plan des xy et considérons le cône, ayant pour sommet le point

ï Si> Mo «^ X

Fig. 34.

M et pour base cet élément; appelons a Tangle de Ma avec l'axe des z et dT l'angle solide d'ouverture de ce cône ; on a :

Ma ^ r', cos a = — 1-,

dx'dy' z dx'dy'

d? = ~ — , cos a

L'angle solide 0 d'où l'aire Sq est vue du point M est donc : et l'on voit que :

Quand z tend vers zéro, Q tend vers d= 27: et J„ vers ± ^ttij.; Jy a donc une limite J, quand z tend vers zéro, et cette limite est égale a -f- 2~'x, si z tend vers zéro par valeurs positives et ii — 2-|j., si z tend vers zéro par valeurs négatives. Il en est de même de l'intégrale L^ puisque

lini.^o Z^ = Jj.