Résumons tout ceci
Nous avons mis Z sous forme d'une diirérence de deux intégrales Z^ et Z^ :
SURFACES ATTIRASTES
La première Z, reste continue quand on iVanchit la surface. Quant à la deuxième /,, elle tend vers -\-'l - 'x ou — 2 - y., suivant que M tend veis M,^ d'un côté ou de l'autre de la surface.
Considérons alors deux points M' et M ' situés de part et d'au-
Fiff.
tre de la surface et très voisins de M,, fig. 3."S^ . Soient / et Z", Z', et Z(', Z'j et 74' les valeurs respectives de Z, Z,, Z^, en chacun de ces points. On a :
au point M : Z= Zj — Z^, au point M ' : Z ' = Z" — ZI',
d'où
Supposons le point .M situé du côté des z positifs et M du côté des z négatifs, puis laisons tendre M' et M' vers M^, ; la fonction Z, étant continue, la différence Z( — Zj' tendra vers zéro; Zj et Z,' tendront respectivement vers -|- 2-ui. et — -~;J-, leur diflerence Z, — Zy tendra donc vers 47:|ji. et par conséquent la différence Z' — Z' tendra vers — 4-|jl.
La composa/Ile normale de Vattraction èproin'e donc un saut hrus(jue de 4" a (juand on franchit la surface au point oii la densité est 'x.
Les raisonnements qui précèdent n'ont été faits, il est vrai, que pour la calotte de surface S^; mais, la partie restante S, de la surface n'influant pas sur les discontinuités quand on traverse Sy, la discontinuité de la composante normale est la même pour la surface S entière que pour la calotte S,^ qui entoure le point Mg où l'on franchit la surface.
49. — Continuité des composantes tangentielles. — Les composantes tanoeiiticlles varient continûment quand on franchit la
THEORIE DU POTEMIEL yEWTONJEN
sui'lace. C'est ce que nous allons montrer en étudiant Tune d'elles, X, par exemple. X a pour expression :
,^/(x' x) dx'dy'
cette intégrale n'est étendue qu'à Sg, puisque, pour l'étude des discontinuités, on peut substituer S^ ;i S. Comparons-la h la suivante :
y/(x' — x)dx'dy'
'tS'„)
X' est une des composantes de l'attraction d'une surface plane, la portion S^'i du plan des xy, sur laquelle serait répandue de la
matière attirante avec une densité éarale à — ^ .
COS'J
Etudions la différence X — X' :
./(s.__,^ ^ cos cp \ r-^ r'-^ /
Nous allons faire voir que c'est une fonction continue de x,v,z. On a :
rr
rr' ^~7'
Cette relation permet de trouver une limite su])érieure de
On a en effet
s URI'A CES A TTIRASTES i i 5
car r, r' , z sont li'ois côtrs (11111 triangle PP. M. Oc plus :
ir r • r
et par suite :
et, enfin,
r r r-r - rr
Translornions encore cette inégalité, en nous servant des remarques et des n(»tatioiis du paragraphe 41. On a :
et
Donc
ou bien, en posant .'iC* + i = E :
PoiNCARÉ. Potent. Newt.
ii4
On a :
' c'os cî \ r r /
Ez'
