ED
Enfin remarquons que
< 1 ; nous pouvons écrire
Prenons alors l'intégrale X — X' ; nous avons appelé F la fonction sous le signe I .
Pos.
rintégrale devient
X'-X=J^dx'dy';
or, en vertu de l'inégalité (1 ,on voit que la fonction <I> est limitée, car :
I <IJ I <yED.
Donc rintégrale X' — X est al:)solument convergente et représente une fonction continue 1^42.
50. C'ela établi, étudions X' et démontrons que X' est continue; nous aurons ainsi démontré que X l'est aussi. I/étude de X est par lii ramenée ii celle de X'; nous avons ainsi substitué, à l'étude de la composante pour une surlace quelconque, l'étude
de la composante iiour une surface ])lane ii densité variable — *
COS 'J
llamenons ce cas lui-même au cas où la densité est constante.
s un FACES AT TI HAST ES
L'intégrale X' peut s'écrire :
Appelons J, la prtMiiirre intégrale et J, la seconde : L intégrale J^ est de la lonne / — — dxdy, si l'on pose :
r \ cos z>
On voit, sans peine, cpie la fonction <I» est limitée, car
2" On peut trouver un nombre K tel (]ue :
cela résulte de ce que le numérateur du premier membre a pour partie principale, quand x' et y' sont infiniment petits, un terme de la forme :
ax' + by',
et cela même tient à la remarque déjîi faite (40 ] que le terme
tout connu du développement de — ■ , suivant les puissances
cos ç
croissantes de x' et y', est le nombre 'J- lui-même.
La fonction <I> est donc finie et, par conséquent, l'intégrale J, est une fonction continue.
Le problème est ainsi ramené à l'étude de J„ c'est-à-dire au cas d'une surface plane de densité constante a.
Cette surface plane est ici S'^ ; nous savons qu'on peut s'arranger de manière que S'^ soit un cercle, ayant pour centre M„. L'énoncé de la proposition à démontrer est donc réduit au suivant.
ii6
THEORIE DU POTENTIEL yEWTONIEN
Soit (fig. 3(3) une aire plane attirante, de densité constante a, limitée par une circonlérence C, dont le centre est INI^j. Soit un point M, voisin du plan du cercle et tendant vers le point M^ sur la droite MM„; on considère l'attraction en M et la composante
de cette attraction parallèle à une droite fixe x'x du plan du cerc :1e lorsque le point INI tend vers Mg et traverse le plan, cette composante reste continue.
Pour démontrer cette proposition, désignons par M' la projection de M sur le plan du cercle et, du point M' comme centre, décrivons une circonférence C tangente, intérieurement à la précédente.
Désignons par S, S', S" les aires comprises respectivement :
à l'intérieur de C, à l'intérieur de C, entre C et C ; appelons A, A', A" les composantes correspondantes de l'attraction en M, On a :
Fig. 36.
lais, par raison de symétrie
Or, quand M tend vers M^, M' tend aussi vers M,, et l'aire S" tend vers zéro; donc A'' tend vers zéro. Cette composante reste donc continue quand M traverse le plan en INI^ ; il en est alors de même de Jj. L'intégrale X', qui est la somme de deux (onctions continues, reste aussi continue, et enfin X jouit de la même propriété.
Il est donc établi en général que : Les composa nies tongenlielles de ralfrac/io/i reslenl cotitinues (jikukI on (rai'erse lu surface.
Remauque. — Plaçons-nous dans le cas général.
suRrACf:s ArriiiAXTEs 117
Qujuul M tend vers M,„ z tendant vers zéro, X a une limite indépendante du côté de la surface où se trouve le point M.
Appelons i^ celte limite. D'autre part, prenons la valeur de l'intégrale au point M,,, (-"est-ii-dire en v laisant brusquement z = 0. On sait 28l (pie l'on obtient ainsi une intérçralc convergente et qu'on la calcule, en entourant le point M„ d'une courbe C que l'on fait ensuite évanouir. I.a limite ainsi obtenue est-elle égale ii îy.* (]ette question n'a pas de sens précis, car l'intégrale convergente qui fournit la valeur de X au point M„ est semi-convergente. Sa limite dépend donc de la succession des formes que prend la courbe (] en venant s'évanouir au point iNIg.
Cependant, purmi ces valeurs, on peut en distinguer une que l'on appelle i'dleiir princijxilc et que l'on obtient en faisant évanouir la courbe C, de manière qu'elle se projette toujours sur le plan des xy, suivant une circonférence ayant M^ pour centre. Désignons par X^ cette valeur principale, on peut démontrer que l'on a :
Je me contente d'indi([uer le résultat sans le démontrer.
51. Prenons des axes rectangulaires quelconques et résumons rapidement les résultats de toute cette étude. Supposons que le point M vienne traverser la surface, au point M,j, où la densité est jjL ; soient a, [îi, v les cosinus directeurs de la normale en ce point My. Au lieu des composantes de l'attraction, considérons, ce qui revient au même, les dérivées premières du potentiel.
La dérivée suivant la normale — ; — , fait un saut brusquede ^-<j,.
dn
, ,. . . OV ÛV OY . , ,
Les dérivées -^j — , — — , — — lont des sauts brusques, etraux res- Ox Oy Oz 10
pectivement à 4a-[jL, 4(3-[jl, 4v7ta et les valeurs principales sur la surface, en M(,, des intégrales qui représentent ces dérivées sont égales respectivement ii la moyenne arithmétique des valeurs obtenues en faisant tendre M vers la surface au-dessus et au- dessous.
ii8 THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN
52. Remarque sur les dérivées du potentiel d'un volume attirant. — Soit T un volume attirant, S la suriace qui le limite ; son potentiel est :
L une de ses dérivées, -^- — , par exemple, est donnée par :
(1) iL=/^iïl±,,^+r^i^d.y.
Ox ,/t) Ox' r J,s; r
C'est la somme de deux potentiels, l'un de volume, l'autre de surface (36). Les dérivées premières de V sont donc continues quand on Iranchit la surface S.
Si, maintenant, on prend les dérivées de — — , on voit, en consi- ^ Ox
dérant le second membre, que les dérivées du potentiel de volume
(première intégrale) restent continues en vertu de la remarque
précédente; mais les dérivées du potentiel de surface (deuxième
intégrale) éprouvent des discontinuités. Les dérivées secondes
du potentiel V éprouvent des discontinuités. Elles se calculent
sans peine. Les sauts brusques sont :
pour ,^,
OxOy
(>vOz
: 4^yt:^,
OzOx
