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etc

Fig. 38.

et, par les points de division A^, iV^, . . . , A„, . . . traçons des demi-circonférences concentriques à la grande et limitées au même diamètre. On partage ainsi le demi-cercle en demi-couronnes, dont le nombre est illi-

mité et qui ont toutes même action au centre O. L'attraction totale est donc infinie.

54. Potentiel logarithmique d'une ligne attirante. — Tous les résultats obtenus, dans l'étude des surfaces attirantes, s'étendent au potentiel logarithmique d'une ligne attirante plane.

La composante taiigentielle reste continue, quand on traverse la ligne ; la composante normale fait un saut brusque de 2-0., quand le point attiré traverse la ligne, en un point oii la densité est ;j.. Quant au potentiel, il n'éprouve aucune discontinuité.

55. Remarque sur un lemme fondamental dans la théorie des surfaces attirantes. — Un lenune a joué, dans toute cette théorie, un rôle fondamental, (l'est le suivant :

L'intégrale

f(x',y':dx'dy'

est une fonction continue de x, y, z, si la (onction f reste limitée en ton! ])oinl du chanij) d'intégration (''«2).

ircy E s A r tira s tes ii\

Nous avons fait usage aussi du leinmo suivant. I/inti'-nrali'

tend vers / , <juand z tend vers zéro et que /. auginent»-

« '"^^ ' indéfiniment, pourvu ([ue certaines conditions énunu'iées au para-

grapiie 43 soient remplies.

Clos deux lemmes sont des cas particuliers du théorème suivant.

Théoiu:.me. — Soit l'inté^orale :

Jf x,v,z dxdv, (S; ^ ■>^ '

étendue ii un certain domaine S.

Supposons :

1" Que le contour C qui limite S ne dépende pas de z. 2" Que l'on ait en tout point de S :

'z> étant une fonction positive.

3° Que l'intégrale

f f ^l>^tly,

étendue au domaine S. ait un sens.

4° Enfin, que l'on ait

Lim, =.^ 0 I X, y, z := l 'x, y, 0^ ,

quels que soient x et v, pourvu qu'ils restent fixes. Dans ces conditions, on a la relation :

Lim,o I i X, V. z dxdv = | f ,x, v, 0 dxdv.