LIGNES ATTIRANTES

56. Potentiel newtonien d'une ligne attirante. — Soit (fig. 39; L une liane attirante, 'j.' la densité linéaire variable d'un point ii

THÉORIE DV POTENTIEL SEWTONlEy

l'autre de cette ligne. Soit, en outre. M,, un point de L et M un point extérieur à L, mais situé dans le plan normal à la courbe mené par M„, Nous nous proposons de voir ce que devient le

potentiel newtonien, en M, lorsque ce point tend vers Mg en suivant la normale !MM^.

Appelons ds' un élément de longueur de la ligne L, P le centre de gravité de cet élément, r la distance MP ; le potentiel, en ^I. a pour expression l'intégrale curviligne :

'j.'ds'

étendue à tous les éléments ds' de L. Pour l'étudier, prenons pour origine des coordonnées M^, pour axe des X, la tangente en ^I^, et des axes rectangulaires. Appelons 0, y, z les coordonnées de M,x',y', z' celles de P ; projetons P en P' sur Taxe x'x ; les coordonnées de P' sont : x' 0, 0. Menons les droites M„P, INI^P', MP, MP' et posons :

\lt

0 = WS\

r = MP = v/x"^ + (y-y')^+(z-z7, r'=MP' =V/x'^+y'^+z%

Z" car X

r„ = M„P=Vx'='+y'-' + z'^ r',=^M„P'=x'.

Partageons la ligne L en deux tronçons, Lj et L^, le point Mq se trouvant entre les deux extrémités de Lj. Le potentiel V est la somme Vj + V^ des potentiels respectifs de L, et f.^ ; le potentiel Vj de Lj reste continu quand on traverse la ligne en M^; il nous suMit donc d'étudier V,.