POTESTIEL DT.XE SPHERE P L E I S E

Tout se passe comme si la masse totale était condensée au centre de la sphère.

Considérons maintenant une masse attirante comprise entre deux sphères concentriques dont les rayons a et b ont une diflerence finie (fig. 8), et supposons la matière distribuée en couches concentriques homogènes. A l'extérieur de la grande sphère, le potentiel est encore égal à

p étant la distance au centre du point oii l'on évalue le potentiel.

Dans la cavité, au contraire, le potentiel de chaque couche est

constant, il en est donc de même pour le potentiel de la masse

totale. Evaluons-le au centre. Le potentiel en ce point, d'une couche de rayon OC ^ c et d'épaisseur de, est :

<x. 4 -cdc.

Le potentiel total est donc :

Y = 4 -'X f cdc = 2 T.'j. (b^ — a^') .

L'attraction est nulle en tout point de la cavité, puisque le potentiel est constant.

Il nous reste à calculer maintenant l'attraction et le potentiel d'une sphère pleine homogène en un point M intérieur à la sphère. Ici, le point attiré est intérieur aux masses agissantes: nous n'avons encore traité aucun cas de ce genre, mais les considérations qui précèdent vont nous en donner immédiatement

POi>CARÉ. Potcnt. Ncwt. 2

i8 THÉORIE DU POTEXTIEL yEWTOXIEX

la solution. Traçons (fig. 9) la sphère concentiique à la sphère

donnée et de rayon 0^1.

Le potentiel Y en M se compose de deux parties :

1" Le potentiel V, de la sphère de rayon OM :=:= b ;

2° Le potentiel V, de la masse comprise entre les deux sphères

Le point M peut être considéré comme extérieur à la sphère OM ;

on a donc :

yi étant la masse de cette sphère.

D'ailleurs^ cette sphère étant enlevée, M peut être considéré comme intérieur à la cavité et, par suite, le potentiel \^ de la niasse restante est égal, d'après le calcul effectué plus haut, à :

V,= 2T:;jL(a2 b^}.

On a donc :

mais M a pour valeur -r-T:u.b'; donc :

V = ~ T:ab^+ 2 TTf. (a-^ - b.) = 2 ::;.. (a^ - -fj .

(Calculons maintenant l'attraction en M : cette atti'action se compose de deux parties : 1° celle qu'exerce la sphère de rayon b et dont la valeur est :

2° l'attraction exercée par la masse restante , cette dernière est nulle, puisque M se trouve dans la cavité déterminée par l'enlèvement de la sphère OM. -— - est donc la valeur de l'attraction

exercée en M par la masse totale. Cette valeur est proportionnelle à ]).