DA-C
Bref
est fini; la fonction, qui est sous le sifrne ( , r r -^
clans Jj, est donc limitée.
Occupons-nous de J^. La fonction sous le signe I est
cos 'i
•j.' étant une fonction iiolomorphe 56 de x', — ^ -j. est dé-
veloppable, suivant les puissances croissantes de x ; il n'y a pas de terme tout connu, le développement commence par un terme du premier degré et le rapport suivant :
cos
reste fini ; soit a une limite supérieure de ce rapport, on peut écrire :
cos 'i
et, par suite.
Or
< a ^ — C <aC r
A < aAC
La fonction sous le signe | , dans J^, reste donc limitée.
126 THÉORIE DU POTESTIEL NEWTOMEN
. Nous venons de démontrer que, dans J^ et J^, les fonctions sous le signe 1 sont limitées; montrons qu'on peut en conclure la continuité de ces deux intégrales, considérées comme fonctions de p. Faisons la démonstration pour .1^. Appelons i^ la valeur de l'intégrale Jj au point Mq :
j;=f^{J___L\dx'.
J cos 'i \ r„ r g /
Je dis que :
(1) Lim J, = .)?.
Posons^ en effet,
les limites des intégrales Jj et ]\ sont — a et b :
..'- a COS -^ \ r r / J „ cos s \ r„ r'^ /
Il nous sudlt évidemment de démontrer la relation (1) pour les limites o et b, la même démonstration s'appliquant aux limites — a et b.
Démontrons donc que :
^ J^ cos '^ \ r r / Jo cos cp \ i'^ r ^ /
Soit y,, un nombre compris entre 0 et b; on a évidemment :
Posons :
Jo cos cp r Jq cos a
f"^ u' dx' , f" 'JJ
J-, cos 'i r .K cos 'j
dx'
r' dx'
Enfin, appelons v^, v/, Uy, u/ les mêmes intégrales où l'on remplace r et r' par ro et \\i . Alors, M désiguant une limite supérieure
de
cos cp \ r 1
on a :
lv-v'I<Mri,
Iv, — v',l<Mr.
LIG y E s ATT lit A .V T E S 127
D'îilllours, dans les potentiels 11, u', u^, u^', le point M„ n"esl pas un des points attirants, puisque ces intégrales ont pour limites T, et b.
Ces potentiels sont donc continus, au voisinage de M,^. l'icrivons alors :
^ ^ X ces 'f \ r V J J,, cos -f \ r„ l'o /
et soit î un nombre positif donné aussi petit cju'on le voudra ; nous pouvons choisir r, dételle manière que :
alors on aura :
rj étant ainsi fixé, prenons 0 assez petit pour ([ue :
le premier membre de l'égalité (2) est ainsi rendu plus petit que 4. Il tend donc vers zéro, quand p tend vers zéro, et la proposition annoncée :
Lim J, = J,^, 0 = 0
est démontrée.
Jj est donc une fonction continue ; la même remarque s'applique à .).,.
Avant d'étudier J^, faisons une autre remarque : J, n'est autre que V. — Vî; démontrer que J,, c'est-à-dire V, — \[, est continu, c'est ramener l'étude de la continuité de \\ h celle de V,' ; de même, J^ est égal à \[ — Yj'; le problème est ainsi ramené à l'étude de Y(', qui n'est autre que l'intégrale J3.
28 THEORIE DU POTEyTIEL NEWTOMEN
