Etudions donc l'intégrale

J3 = \7= r"-^dx';

X étant constant, elle s'écrit :

r" dx'

ît a pour valeur :

On a donc, pour \[' , l'expression suivante obtenue en développant le logarithme :

\7=— 2alogp + 2;j.log2V''id^ et, pour V,,

V, = - 2 i^log p + 2 [j. log 2 V/^ + (Vî — V;") + (Vi»-V-)+H^(?),

VJ, Vj" etc., étant les valeurs des intégrales au point M^

et W(p), une quantité qui s'annule avec p. Posons :

X = 2 [^log 2 v/iTb + (Yï - y;") + (Vi« - v;'"),

on aura :

V,=-2;..logp + N+T(p).

On voit que le potentiel V, et, par suite, le potentiel V de la

Fig. 40.

ligne entière augmentent indétiniment, <juand le point M s'approche indéfiniment d'un point ^NI^ de la ligne.

La ([uantité N, qui entre dans son expression, ne dépend pas de 0 ni, par suite, du point M, mais seulement des coordonnées du point Mo.

Calculons cette quantité dans deux cas particuliers : celui d'une dioite homogène et celui d'une circonférence homo-

LIGSES ATTIRANTES

Soit AB (fig. 40',, un segment de dr()ile attirante honiooène de densité a, les autres notations étant les mêmes que précédemment. On voit sans peine <[ue Texpression

v? - \'" + 1 v;" - VD,

est égale ii zéro ; la quantilé X se réduit donc à N = 2y. loo-2v'id^,

a et b étant les longueurs M^A et M^B. Le potentiel prend alors la forme :

^1 = + 2 ;-^ log — ;

c'est l'expression que nous avions trouvée au paragraphe 14. Passons au cas plus important d'une circonférence homogène.

59. Cas d'une circonférence homogène. — Nous avons déjii (ITi calculé le potentiel d une cuconléience homogène, en un point intérieur ou extérieur, à l'aide de la niotjenne arit]imético-iièomètrique de Gauss.

Voyons ce qui se passe, quand le point attiré M est très voisin de la circonférence.

Menons toujours (fig. 41j la normale ^IM^ et appelons 0 la longueur MM^; soit, en outre, \x la densité de la matière attirante. Le potentiel, en M, est donné par l'expression :

(1) Y=2alogp + N;

nous négligeons ^*(p) qui s'annule avec •:.

Nous avons dit que la quantité N ne dépend pas des coor- Fi^ 4,. données du point M, mais peut

seulement dépendre de celles du point M^ : ici, en vertu de la symétrie, N ne dépend même pas de la position de M^ et, par suite, son expression ne doit contenir que la densité ;jl et le ravon a du cercle; voyons de quelle manière (j. et a entrent dans N. Poi.NCARÉ. Potent. Newt. 9

»3o THÉORIE DU POTESTIEL yEWTOMES

Le potentiel Y envisagé sous sa ("orme ordinaire

•■st manilestement proportionnel à [ji, ; mais, envisagé sous lu l'orme (1), il se compose de deux termes, dont le premier est proportionnel h ;j.; le second, N, doit donc l'être aussi.

Cela posé, considérons encore Y sous la forme (2) ; dans l'intégrale du second membre, |jl est un nombre, ds' et r sont des longueurs; si l'on niultiplie toutes les longueurs par un même

nombre, le rapport ne change pas, Y ne change donc pas non

plus. Par conséquent, quelle que soit la forme de son expression, le potentiel Y doit être homogène et de degré zéro par rapport aux longueurs qu'il contient ; par exemple, si on l'exprime, comme dans la formule (ij, en fonction de p et a, il ne doit contenir que le rapport de ces deux longueurs.

D'après tout cela, Y doit être nécessairement de la forme suivante :

y=2...1og-^ + K.^,

K étant un nombre, indépendant par conséquent des ([nantîtes p, a et [A.

Pour achever le calcul de Y, il nous reste à calculer K.

Nous nous servirons pour cela des résultats établis antérieurement (17 et 18). Soit Mj le point où MÎM^ perce de nouveau la 4'irconférence ; posons :