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et appelons o (p,o) l'inverse de la moyenne arithmético-géomé- Ij'ique de p et o ; on a (18) :

V = 2 7:[ji.a'-a(p, o).

Considérons le plan P, perpendiculaire au plan de la circonférence et passant par MjMq ; prenons ce plan P comme plan du lablcau (fig. 42). Si le point M sort du plan primitif et se déplace dans P sur une deuxième circonférence, tracée dans ce plan du

LIG.\ES ATTIl{AyTE<i

point Mo comme centre, avec p pour rayon, la iornuile '^ montre que V ne change pas ; dans ce mouvement, o varie depuis 2a + z jusqu'à 2a — p. Donnons alors à M une position telle que o

Fig. 4'2.

prenne la valeur 2a et calculons le potentiel, en M. dans ces conditions. On a :

Rapprochons cette formule de la lonnulc (iV et égalons les deux expressions de ^ , il vient :

d'où :

2T:'j:a'i (p, 2a . ^ — 2 |j. log -^— ■

— loii: — ■

Donnons maintenant à a un accroissement Hz dépenilant de p et s'annulant avec lui ; on vérifie, sans peine, que 'i(s, a' prend un accroissement qui s'annule aussi avec z ; comme nous négligeons les termes qui s'annulent avec z, nous pourrons négliger cet accroissement et considérer comme égales les deux expressions '.p(p, a' et 'j(p, a H- Hf.

Cela posé, observons que, '-^ p, -a étant llnverse tle la moyenne arithmético-géométriquede Gauss, on ne change pas sa valeur en remplaçant z et 2a respectivement par leurs moyennes arithmétique et géométrique ; on a donc

Or. en vertu de la remarque précédente, on a

r(a+ ^, V2as l=-J^a,V2ap),

i3a THÉORIE DU POTE\TIEL AEWTONIEN

et, comme, dans l'expression de », on peut intervertii rordie des variables sans changer '^, on a aussi :

on peut donc écrire :

(•^) ?(?, 2a) = cp(v/ra;, a).

Reportons-nous à l'égalité (i) et changeons-y p en V'iuz et 2a en a, cette égalité deviendra :

(6) ^ (\/T^ a) =— log — ;l=4- JL.

- a '^ 2 V2ao ~a

Comparons maintenant les égalités (4) et (6) ; les seconds membres de ces égalités doivent être égaux, puisque les deux premiers le sont, en vertu de l'égalité (5); on a donc :

r.a ^ p 2 -a Tia '^ 9\/2ac "^ ^^

ce qui peut s'écrire, en transformant le second membre de cette nouvelle lelation :

• looj -f- = loo- — 1