a "^ p 2 7:a ti a '^ 8p 7:a

ou encore :

-a '^ p 2-a -a ^ p 7:a » Ta

loff — disparaît et l'on tire finalement :

Ta ^ p 1

K = 2 log8.

Le calcul de V s'achève, en portant cette valeur de K dans l'expression de V :

Y 2..1og-5il-.

Telle est la valeur approchée du potentiel, quandp est 1res petit.

ciiaimtrp: iv

LA FOXCTIO.N Dl'] (illEEX ET LE PROBLÈMl' DE DIRICIILET

60- Théorème de la moyenne de Gauss. — Soit \ une loiu-tion des trois vuriables x, y, z, continue ainsi que ses dériv<*es premières dans un certain domaine; supposons que ses dérivées secondes existent et soient généralement continues, les discontinuités, s'il V en a, se trouvant sur des suilaces algébriques d'ailleurs ([uelco indues.

Soit, en outre, M^ un [)oint de ce domaine et i! une sphère, avant pour centre M^ et située dans le domaine considéré ; on appelle ntoi/c/i/w de la fonction V sur cette sphère l'expression :

l'intégrale étant étendue à tous les éléments dw de lu surface de la sphère et r étant le rayon de cette sphère. Soit enfin V„ la la valeur de V au point M^.

Le théorème de la moyenne de Gauss est le suivant : Si la fonction V satisfait à l'équation de Laplace

AV =0, en tout point du domaine, on a la relation :

([uel que soit r.

Pour démontrer ce théorème, changeons de variables et passons en coordonnées polaires; les formules de transformation sont :