X :^ r sin H cos
y := r sinO sin 'J,
z :=r r cos H,
i34 THEORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN
rorigiiic primitive et la nouvelle étant toutes deux au centre M. de S et les courbes
c5 == const, h = const,
désignant les méridiens et les parallèles de la sphère.
Partageons la sphère en éléments de surface très petits, dco, à laide de ces deux systèmes de courbes; on a :
doj = r* sin OdO des, et l'expression de M devient :
/' ^' r-sin 0 dB d'j 1 /*,, . r, ,,, ,
INI = / ; '- = — — / \ sin 9 d8 d'i,
les limites de cette dernière intégrale étant :
pour cp : 0 et 2-, pour 0 : 0 et 7:.
Les limites étant constantes, on peut difFérentier sous le signe | ,
et écrire :
dM r sine dV „ ,
ur J 47: (Ir
ou, en revenant aux anciennes variables, dM r dV dco
ce qui peut s'écrire
dM /' dV
/' d\ d(o 1 /' dV
/ dn 47îr- 47tr- J du
Mais on a vu (20) que l'on a, en désignant par T un volume et par S la surface qui le limite.
rd\ ,
— T— àoi ' dn
=/A^•ch,
la seconde intégrale étant étendue au volume T et la première à la surface S; cela a lieu sous certaines conditions de continuité, qui seront ici remplies, si nous ])renons j)our surface S la sphère
FOSCTIOS DE GREES ET PRO/ILEME DE DIKICIILET lY*
i; l't, pour voluint' T, rintôrirur de ct-lto sphrrr. Miiis, en th;i([Uf ])<»lnt de rint«''rM'iir dr la sphi'if. on a
donc
j)ai' suit»'.
t't eiilin
dn dM
dr
M est donc indépendant de r. Or. quand r tend vers zéro, les valeurs de V sur la sphère tendent vers V^, l'intégrale /Vdc^ tend vers 4T:r-VQ et enfin M tend vers V^; comme M est fixe, on doit constamment avoir M = \^.
Le théorème de (lauss est donc démontré.
61. Fonctions harmoniques. — On appelle fonction haimonif/iu\ dans un domaine donné T, une fonction qui. dans ce domaine. p<tssède les propriétés suivantes :
1'^ Elle est contiiuit' ;
2" Ses dérivées premières existent et sont continues:
3" Ses dérivées secondes existent et sont généralement continues, les discontinuités, s'il y en a. se trouvant sur des surlaces algébriques quelconques;
4" Elle satisfait ii l'équation de Laplace :
La fonction V considérée au paragraphe précédent est une fonction harmonique.
Voici une propriété importante de ces fonctions. Soient T uii volume, S la surAice qui le limite et V une fonction harmonique dans T. Puisqu'elle est continue, elle a un maximum qu'elle atteint pour un point du domaine. Je dis que ce point n'est pas ii l'intérieur de T. mais sur S. Supposons, en effet, qu'il soit intérieur à T; on peut l'entourer d'une sphère, ayant ce point pour centre et tout entière intérieure ii T. En tout point de la sphère,
i36 THÉORIE DU POTENTIEL yEWTOXIEN
la valeur de V est inférieure au maximum V^ ; l'intégrale /Y cko est clone inférieure à 47:r'-V|, et enfin la moyenne M est inférieure à V„; mais, d'après le théorème précédent, on doit avoir ]M ^ V^; il est donc impossible que V atteigne son maximum dans l'intérieur de T; elle l'atteint sur la surface S. Pour les mêmes raisons, V a un minimum et elle l'atteint sur S.
On peut donc énoncer, en général, le théorème suivant :
Une fonction Jiarnionique dans un domaine n'atteint son maximiun et son niininiuni que sur la sur-face qui limite ce domaine.
On en conclut sans peine le corollaire suivant : Si une fonction harmonique est positive sur la surface, elle l'est dans le volume limité par cette surface.
Toutes ces propriétés sont vraies, que le domaine soit simplement ou multiplement connexe.
62. Le théorème qui précède nous permet de faire les remarques suivantes :
I. — Supposons le domaine T limité; soient g le maximum d'une fonction V harmonique dans ce domaine et h son minimum, on a :
sur la surface : h f^ V ^ g, dans l'intérieur de T : h < V < g.
II. — Supposons le domaine T constitué par toute la portion de l'espace extérieure à une surface S ; ce domaine s'étend depuis la surface jusqu'à l'infini. Décrivons une très grande sphère S' entourant S. Soient g et h le maximum et le minimum sur S, J g' et h' le maximum et le minimum sur S'; on a : ■
sur S : h < V < g, sur S' : h' < V < g'.
Le maximum de V sera la plus grande des deux quantités g et g', pour le volume compris entre ces deux surfaces ; le minimum, pour ce même volume, sera la plus petite des ([nantîtes h et h'.
Supposons maintenant ([ue, S leslant fixe, le rayon de S' grandisse indéfiniment et (pie V s'annule à l'Infini ; g' et h' tendent vers zéro. Plusieurs cas peuvent alors se présenter :
roycTio.y di: (sHi:i:.\ i: r ru on/./: m/: dj: dii{/( /i/.i:t ri;
1" Supposons h positif; g Test aussi et, si S' t'st assez irrand,
on a :
h' < h et g' < g,
«.'t. par suite,
ou
(.laus tout l'espace extérieur ii S.
2" Supposons
g> 0>h, on a :
h < h', et, clans tout Tespace extérieur à S :
g>V>li.
.'V* Supposons
on voit lie la même façon ([ue, dans tout l'espace extérieur a S, V est constamment négatif.
C'est un de ces trois cas qui se présente, pour le potentiel dû a des niasses situées ii distance finie.
III. Reprenons le cas d'un domaine limité compris ii l'intérieuid'une surface S; on a les inégalités
cp > V >h : dans T,
çf ^ y ^ h : sur S.
Si donc, en t(tut point de S, la fonction est nulle, elle est nulle aussi, en tout point de T.
IV. — Soit une fonction V, harmonique dans tout l'espace et s'annulant à l'infini. Je dis que Ton a V^^O dans tout l'espace. Traçons, en efl'et, une sphère de très grand rayon; les valeurs de V, à l'intérieur de la sphère, sont comprises entre le maximum g et le minimum h. lesquels sont atteints parla fonction sur la surface et tendent par suite vers zéro, quand le rayon de la sphère croît indéfiniment; V tend donc vers zéro, à l'intérieur de la
i38 THEORIE DU POTENTIEL NEWTOMEX
sphère et, comme sa valeur en chaque point est bien déterminée, on a nécessairement ^ = 0 dans tout Tespace.
63. Ce qui précède nous permet de trouver les propriétés caractéristiques de la fonction potentielle (cas de l'attraction newtonienne), c'est-à-dire les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction représente un potentiel newtonien.
Soit une fonction Y satisfaisant aux conditions suivantes :
1" V est continue dans tout l'espace.
2" Ses dérivées premières existent et sont continues, à l'intérieur et à l'extérieur d'une surface S donnée ; mais, quand on Iranchit la surface, elles éprouvent des discontinuités ; elles tendent vers des limites différentes, mais l)ien déterminées, quand on tend vers la surface soit par Tintérieur, soit par l'extérieur, et ces limites sont telles c[ue, seule, la dérivée prise suivant la normale éprouve une discontinuité à la traversée, les dérivées tangentielles de S restant continues.
3° A l'extérieur de S, on a
4° A l'intérieur, AY est quelconque.
5° Y s'annule à l'infini.
Ces conditions sont évidemment nécessaires pour définir un potentiel newtonien, puisque tout potentiel newtonien les possède. Nous allons montrer qu'elles sont suffisantes, c'est-à-dire cju'elle.'i définissent une fonction et que cette fonction est un potentiel.
Appelons T le volume enfermé dans S. En tout point de T, A Y est quelconque, mais donné ; posons :
AY='f(x,y,z),
'i étant une fonction donnée.
Considérons alors la fonction A , :
1 /''i(v' v' yl\
c'est un potentiel de volume, où cp désigne la densité. On a évidemment, en tout point x. y. z du volume T,
AV, = '^ (x, y, z).
FOSCTIOS bi: GltEKS ET PROni.kMt: Di: DIHK IILET i !-i
Soit maintenant !/(.\, y. z^ une lunction déflnii- sur la suifacf Sot oxprlmant, OMchaqiio point. It* saut hrustpic dr la dérivée (le \ suivant la normale ; puis posons :
cotte intéîxrale double étant étendue à tous les éléments do/ de S. l.a lonetion V, satisfait ii la douxii-me condition imposée à la l'onction V, car c'est un potentiel de surface où la densité est représentée par la fonction •!/.
La soninxe des deux potentiels : V, + V,, remplit toutes les conditions imposées ii lu fonction ^ ; on peut donc la prendre pour fonction ^ .
Montrons que cette ft>nction est uni(jue.
Supposons, pour un instant, ([u'il venait une seconde \ ; considérons la difTérence
Elle remplit les conditions suivantes :
1° Elle est continue, dans tout l'espace, ainsi que ses dér-ivéos partielles du premier ordre ;
2" Elle satisfait, dans tout resp^'oe. ii l'c-quation de Laplace. Cette difï'érence est donc une fonction harmoni([ue dans tout l'espace ;
'•\' Elle s'annule ii l'infini.
Va\ vertu de la Remarque IV du paragraphe précédent, elle est identiquement nulle; donc la fonction V, -f-Y^ ost unique.
Bref les cinq conditions énumérées plus haut sont sulfisantes pour définir un potentiel et ne définissent pas d'autre (onction. Ce sont bien les propriétés caractéristiques cherchées.
Remarque. — Comme on le voit d'après les énoncés moines, il ne s'agit, dans tout ceci, que des potentiels de surface et de volume. Ceux de ligne, par exemple, sont exclus.
Les propriétés que nous venons d'établir ont une grande importance pour tout ce qui va suivre.
