Problème de Dirichlet. — Problème intérieur. — Problème

I io THÉORIE DU POTESTIEL SEWTOMEN

extérieur. — Le problème in/crienr de Dirichlet s'énonce ainsi : Soit un volume T limité par une surface S. Trouver une

fonction V des trois variables x, y, z satisfaisant aux conditions

suivantes :

i** En tout point de T, elle est continue, ainsi que ses dérivées

partielles des deux premiers ordres ;

2" En tout point de T, elle satisfait à l'équation de Laplace :

3" Sur la surface S, elle se réduit à une fonction donnée U de:^ coordonnées.

On peut démontrer les deux théorèmes suivants :

I. — Si le problème intérieur de Dirichlet comporte une solution, il n'en comporte qu'une.

Supposons, en effet, pour un instant, qu'il en comporte deux ; soient V et V les deux fonctions ainsi obtenues. On a :

AV = 0 dans T, AV = 0 dans T, V = U sur S, V =U sur S.

Posons :

La fonction F satisfait aux conditions suivantes :

AF = 0, dans T, F =0, sur S.

Par conséquent, en vertu d'un théorème démontré au paragraphe précédent, on a partout, dans T, F e^ 0 et, par suite, Veee;V'; il ne peut donc pas exister deux solutions distinctes du problème énoncé.

IL — Le problème comporte toujcuirs une solution. (1( t énoncé est connu sous le nom de pri/ici/je de Di/'ir/t/ef.

Nous nous en occuperons dans un autre chapitre.

Voici maintenant l'énoncé du prohlènie e.viérieur de Diriviilel.

On donne une surface fermée S et l'on considl-re l'espace extérieur à S, c'est-à-dire l'espace qui s'étend depuis cette sur-

FO.\CTIO.\ DF. Gnr.F.S ET P H O II /. F M F DF DIRICIILET lii

face jusqu'à rinfîui. On domaiulr île trouver une iDnetion \ satislaisant aux conditions suivantes :

1° En tout jxtint de l'espace considéré, la fonction V est continue, ainsi (jue ses déiivées des deux premiers ordres ;

2"' Vax tout point du même espace, elle satislait i» réquati«»n de I.aplaee :