II. Qu'il y en a toujours une

65. Extension au cas de deux variables. — Les définitions et théorèmes qui précinlent s étendent au cas de deux variables sans difficultt'.

La définition des lojictions liarmouiipies est la niénic ; il suffit de remplacer les mots volume et surface par aire plane et contour.

Le théorème de Gauss pour une fonction harmonique devient :

la sphère a été remplacée par un cercle, sa surface ])ar une circonférence, son aire 4 - r- par la longueur 2 t: r de la ciiconférence, l'intégrale double I A dw par l'intégrale curviligne I \ ds.

Les remarques sur les limites supérieure et inférieure des fonctions harmoniques se généralisent immédiatement et la modification, dans chaque cas, pour transposer les énoncés, est évidente.

Cependant les considérations faites dans le paragraphe 62 11 , il propos des fonctions harmoniques ;\ l'extérieur d'un domaine donné et ;i propos du potentiel newtonien, ne se généialisent pas. Cela tient à ce que le potentiel logarithmique ne s'annule pas il l'infini comme le potentiel newtonien.

Vovons ce qui se passe, dans ce cas.

I {2 THEORIE DU POTENTIEL SEWTOMEy

Soit un contour plan C, entouré iFun cercle de très grand rayon C ; considérons le potentiel logarithmique d'une certaine distribution linéaire de matière attirante sur le contour C et d'une certaine distribution superficielle de matière dans l'aire plane qu'enlerme le contour G ; donnons à g, h, g', h' des significations analogues à celles qu'elles ont au paragraphe 62. Enfin reprenons pour le potentiel logarithmique les notations données au début de ce cours. On sait que l'expression :

V Mlog-^,

tend vers zéro, (pnmd p croit indéfiniment ; si donc ]M est diflerent de zéro, \ augmente indéfiniment et, sur le cercle C, | Vj est très grand quand le rayon de C est très grand ; faisons grandir ce rayon indéfiniment, nous devons distinguer plusieurs cas :

l''M>0; alors g' et h' tendent vers — x et l'on a, dans tout le domaine,

2" M < U ; alors g' et h' tendent vers -f- oo et l'on a, dans tout le domaine,

Alors Y s'annule à l'infini, on retombe dans le cas du potentiel newtonien et l'on a à distinouer les trois inégalités vues dans ce

66. Remarque sur le potentiel newtonien. — Supposons que Y désigne, non pas une fonction harmonique, mais un potentiel newtonien de volume, et essayons de reprendre les raisonnements faits pour établir le théorème de la movenne. Nous aurons :

dM ]Vch dr " 4 7:r-

Supposons que le point 0 soit intérieur aux mass(>s agissantes cl que la densité soit positive, alors on a :

FOSCTIOS DE GREES ET PROBLEME DE UlRICllLET ijî

«'t, par suite,

chou enfin :

On en eoiu'lut (juiiu voisinage de (), \ peut rlic inlêiicur ;i V^; en tout eas, il ne se peut pas (ju'il lui soit partout supe'iieur.

Bref, V peut avoir un niaxinuini au sein des niasses agissantes, mais il ne peut pas avoir de minimum.

Soient T le vidume. S la surl'ace limite, g t>t h le maximum et le minimum de ^ sur elle ; on a :

g > Y > h sur S.

On est sur que l'on a, dans T :

anais on ne sait pas si l'on a :

67. Conséquences de la formvde de Green. — Kcpoitons-nous au paragraphe 19 et reprenons les notations de ee paragraphe. Nous iivons démontré en général la formule

(1)... ^/;(VAV - VAU) d.= /• (u 4L V iL ).u„ ;

les fonctions U et V et leurs dérivées doivent satisUiire, dans le

volume T et sur la surface S, à certaines conditions de continuité

que nous avons indiquées en étahlissant cette lormule. Les

,. . . dV dU . V . . 1 , r c

dérivées ~. — , — r— sont prises vers 1 intérieur tic la surlace h. du du

Faisons quelques applications de cette lormule.

i° Supposons que U soit une fonction harmonique et A le potentiel d'un volume attirant T' ; on a alors les relations suivantes :

AU ^ 0, il lintérieur de ï,

AV = 0, il l'extérieur de ï , AV = — ^~;^j î^ l'intérieur de T',

lîi THÉORIE DU POTENTIEL NEWTOMEX

tj. désignant la densité de la matière attirante dans le volume T'; rintégrale / (UAV — YAU)dT devient alors :

— 47:J U|^d7, ce qui peut se mettre sous la forme

— 4-I^Udm,

en appelant dm = i/dt la quantité de matière contenue dans Félément dT. J.a formule (1) devient ainsi:

./(S)\ dn dn / J

ce que l'on peut écrire, en donnant une autre forme au second

membre,

r ( dV dU \ , ^

J(S) \ dn dn /

la somme S portant sur toute la partie du volume T' comprise dans le volume T.

2° Supposons maintenant que, U désignant toujours une ionc-

tiou liarm<»ni([ue, Y désigne un potentiel de suiface. Représentons le volume T d'intégration, la surface S qui le limite (fig. 43) et la surface attirante S', dont Y est le potentiel. Yoyons ce que devient

roMTioy DE G/{i:i:.\ irr phodlemi: di: diuuiu.kt li'i

alors la loi'imilc (1). Ses deux inciuhrcs sont nuls si S' est tout (Mitif'i'c ('Xt(''i'ieiirc à S. Mais supposons quo S' coupe S; oljc paitago ainsi le volume ï en deux autres T, et T., et la surlaee S en deux paities Sj et S,. Traeiuis deux surlaces S'^ et S'., clc part et d'auti-e de S', paiallèles il S' et très voisines d «'lie. I.e volume 1 est alors partag'e eu tiois jtarties :

1, com[)rise enti-e S et S^ T', compiise entre S et S', T" comprise entre les deux surlaces auxiliaires S , et S',.

T' est une étroite bande dont le volume tend v(M's z<''ro ([iiaiid les deux surfaces S'^ et S',, tendent vers S'.

.\ppli([U(Uis la loi'imilc I ;i (duicuii des frcuieoiis Aw voliimt' 1 et aux portions ([<> surfaces (pii limitent chacun dCux. Pour 1rs

deux premiers. 1 intégrale triple m\ Al' — UAV) dT est nulle; les intégrales doubles correspondantes sont donc nulles et Idn a

c f ,. dv ,. (ir \ , /' /,. d\ ,. dr \ ,

c'(A|SiB,) \ ^^^^ du / c AiS'jB.) \ du du J

et

/ l -^ \-p-d(.:) + / iL-^ \ dio:^0.

^'(A.S2B2) \ ''" tl» / «(AoSSB.) V d'I (hl /

Aj(uitons rt laisons passer dans le second membre les intégrales étendues i» S', et S'., ; il vient :

t AiSiB, <-'A2?iB., t A S'iBi «^'A2S'2B2

Si S'j et S'^ tendent veis S', le premier membre tend vers / ; on a donc :

^ J \ an du J L.\,s,i!, V an du /

+ f (u.iI-viL),J.

c'a^s-.BjV à^^ du / J

T ,. . . dV du .

Les dérivées — j — et —, — suivant la normale sont |)rises intédn du ^

PoJNCARÉ. Potent. Xewt. lo

I i<> THÉORIE DU POTENTIEL NEWTOMES

rieuiement aux volumes 1\ et T'^ ; par conséquent, dans le premier membre de cette relation, elles sont prises intérieurement au volume T et dans le second extérieurement au volume T".

(!ialculons maintenant la limite de la somme des intégrales de ce second memjjre.

\/,\ surface S' est la surface attirante ; la dérivée — j — éprouve

du ^

donc un saut brusque quand on francliit cette surface ; quant aux

autres fonctions U, V, — ; — , elles restent toutes continues. Appedn ^ ^

Ions a la limite de — j — sur S', quand S', tend vers S' ; et S la

. . dV /^"

limite de — j — sur S', quand S' tend vers S'. Enfin désignons les dn HT- ^ ^ ,TT ^

limites de L, V, — j — ^ par les mêmes lettres L. \ , — ; — ; on a: dn ^ dn

3^ lim f IV -^ Y ^\ dco = TUado, N ^.U,

' ' -AiS,Bi\ du dn / J J dn

ces deux nouvelles intégrales sont étendues à la portion de S'

comprise dans T. Le sens de la normale dans — ; — est celui qui va

du

vers Sj. On a encore :

(4) lim/' (V ^^\^)cho = l\pd.> - f\ ^ d.>.

c'a^s.b.V dn dn / J ' J du

Le champ d'intégration pour ces deux dernières intégrales est encore la portion de S' compris dans T. Le sens de la normale

dans — ; — est celui qui va vers S,. Additionnons les deux égali-

tés (3) et 4) membre ii membre: les deux intéorales / \ —, — do)

^ ' J dn

se détruisent parce cjue les sens de la normale dans ces deux intégrales sont inverses l'un de l'autre. Il reste :

,i„J/- (V-iI viL)a.„ + /- (riL v4L),i,„-|

= rLI(a+^i)d(o,

et par consé<pient, en vertu de la relation ,^2 :

(^-) .C,(^'i^-^il!r)''-=-/>'" + '^) '•■■'•

ro.\crio.\ UE ghi:i:.\ i: t phoiilkmk de di m cul et i i;

Or appohtns |jl la densité de la iiuitii'ie attirante en chaque point (le S'; il résulte de la théorie des sui'laees attirantes ([ue, si Ton

désione |)ar — j — la limite vers laciuellr tend la dt'i'ivée prise sui- (In,. ' '

vaut la normale exterieuic (piand on tend vers la surface par

r - • ^1^' , ,• • I ^IV -,

\ extérieur et i)ai' — j — la limite de — ; — i)rise suivant hi noi'male

(lUi dn '

intérieuie (piantl on tend vers la surCace par l'intérieur, Ton a :

d\' dV

tin,, dUi '

On a donc ici

Bref, la relation (5) donne:

J \ ^\\\ dn / ,/ '

C'est la même ioimule cpie dans le cas du potentiel de volume; on peut lui donner la même forme :

T- '^'^ T du ■ , , „ ^.