L -T— — \ — p— dto ^ 4 -SmU

Cette lormule s'étend donc à un potentiel de surface comme ii un potentiel de volume; elle s'étend par suite au potentiel d'un ensemble de surfaces et de volumes attirants.

68. Cette formule s'appli([ue encore si V désigne le potentiel d'une ligne attirante, de points attirants discrets ou d'un ensemble de volumes, de surfaces, de lignes et de points.

On peut donc énoncer en général le théorème suivant : Si U désigne une fonction havniotii(iue cl V un potentiel ne^vtonien, on a la relation :

r fir dv ,. du \ , , ^ X.

l'intégrale étant étendue à tous les éléments dto d'une surface fermée quelconque S et "ï-mU ne s'étendanl qu'aux niasses situées à r intérieur du i'olume T limité par la surface S.

I i8 THÉORIE DU POTENTIEL NEKTOSIEN

Ce théorème constitue une forme nouvelle du théorème de Green.

Il est clair que le théorème subsiste si V désigne la somme d'un potentiel et d'une l'onction harmonique.

La formule précédente se modifie si U et Y désignent deux potentiels. Soit \j. la densité de la distribution des masses m qui engendrent le potentiel U et soit ;j.' la densité de la distribution des masses m' qui engendrent V. on a :

= 4 7rS(m'U — mV).

Ces deux théorèmes s'étendent au potentiel logarithmique dans le plan.

69. Cela posé, considérons toujours le même volume T limité par S. Soient INI (fig. 44) un point variable de S et M' un point fixe non situé sur S. 1^ Flnfm, soit U une fonction harmonique dans ï; posons

:mm' = r

et considérons l'intégrale double étendue à la surhice S :

Si le point M' est extérieur à la surface S, on a

1 i^^ U^ /dco = 0.

r thi dn

Si au contraire M' est intérieur à S et si U' est la valeur de U en ce point, on a :

^'^^ T 'il / TV

FOxcTioy Di: grées et i'koulème de Diniciif.Er i iç,

, , . . . au r ...

Les aerivces — ; — • of — ; — sont prises ici, en chiKiiie ixmit de S, (hi (In * * *

suivnnt la normale extérieure.

(les deux foiinules se d«''duiseiit de la lorniule (.V démontrée

dans le paragraphe piéeédent. 11 sullitde lemplacer V ])ar — , e'est-

ii-dire de considérer ^ comme le potentiel neyvtonien d'une masse égale ii l'unité située au point M'.

Cette intégrale (G a une très grande importance; elle permet, on le voit, de calculer la valeur U', en un point M' d'un volume T, d'une fonction U harmonique dans ce volume, pourvu que l'on

1 1 1 T- au ,

connaisse les vahnirs de L et — j — sur la surhice S (rui limite T.

dn ^

Une formule analogue existe pour le cas du potentiel logarithmique dans le plan ; on a :

1 ('\ '' ui!!^l.

le lacteur y—- est remplacé par -- — , le volume par une aire plane, la surlace par le contour qui limite cette aire et le potentiel newtonien — par le potentiel logarithmique log( — ).

70. Analogies avec la théorie des résidus de Cauchy. — On peut remarquer l'analogie de ce qui précède avec la théorie des résidus de Cauchy; la formule (7) dans le plan permet par exemple de retrouver le théorème des résidus.

Soit une aire plane S limitée par un contour C; plaçons-nous en coordonnées rectangulaires et soient x et y les coordonnées d'un point M. Considérons la variable complexe

et soit f (z) une fonction de cette variable ; si la fonction f est holomorphe dans l'aire S, on peut poser

f(z) =U +iT,

THEORIE BU POTEyriEI. yEWTOMEN

U et T étant des fonctions réelles des variables réelles x et y, et

Ton a :