On peut obtenir tous ces résultats par une autre mé
/' or F. -v m: i. u' r y /■: s r ii /■: n k v i. i: i .v i:
thodo, ([lie nous allons exposer clans le cas d nne suilae*' spliériqiie honio^i'ne.
(!()ninien(;ons par eUecluer le ealeul pour un point slUn- a 1 inléi'ieui- (le la cavité splieriipie. Tout point de cette cavité est ('.itèiicur aux niasses agissantes et le potentiel \ v satislail ii l'équation de I.aplacc
Or, en vertu de l'honionénéité de la couche superficielle. \ dépend seulement de f>, distance du |)oint attiré M au centre O de la sphère; cela nous permet de lianslornier léquation ^'l\
On peut écrire :
OV d\' X
car le centre de la sj)hi're étant pris [)our origine des coordonnées, on a :
et
On a (\v même
OV d\'
Ov
et
OV d\ z
Calculons les dérivées secondes :
*VV ,^ /dV
i^z do -.
De même
<vv d-\
»>z- do-
Ov-
cvv d-v z- (IV r I
Ajoutons ces trois dernières relations, membre à membre; il
vient :
,. (PV 2 dV
do- p dy
L'équation (1) devient donc :
do- ' p dp
Nous avons remplacé l'équation aux dérivées partielles par une équation différentielle linéaire du second ordre. Or nous connaissons deux intégrales particulières de cette équation ; ce
sont :
Y = i et y =— .
L'intéorale crénérale est donc :
A et B étant des constantes.
Calculons A et B.
Au centre, le potentiel doit être égal ii , car, dans l'intégrale / ]x' , r est égal ii a, rayon du cercle. Donc, pour
p =0, \ doit se réduire a , ce qui exige que 1 on ait :
et ce qui nous montre que le potentiel est constant en tout point
intérieur et égal a .
Voyons ce qui se passe pour un point extérieur ii la sphère.
l']n tout point extérieur, l'équation (2) est vérifiée et le potentiel
est encore de la l'orme (3), les constantes A et B n'ayant pas la
même valeur que dans le cas précédent. Calculons ces nouvelles
valeurs; pour cela, remarquons que, si p augmente indéfiniment,
on a :
Lim oV=M.
POTKSTJEL LOGAItl rilM IQL K IJL.\E C IRC O S F É RE X C E il ce qui exige que l'on ;iit :
et, par suite,
12. Potentiel logarithmique d'une circonférence. — Soit une eirconlérence attirante honi(»<)ène, aont le centre est à l'orio-inc acs cooraonnées. Proposons-nous àe calculer le potentiel logarithmique Y en un point M àe son plan. Remarquons que V est une fonction àe àenx variables seulement, x et y, et qu'à Tintérieur comme à l'extérieur Aq la circonférence, celte fonction satisfait à l'équation àe Laplace :
Ox- ' i^y-
Dans le cas parlleulifr cpii nous occupe, la circonfi-rence étant liomogène, V ne aépena que àe la aistance z du point attirant au centre. Nous pouvons alors transformer léfjualion aux dérivées partielles (4) en une équation ailférentielle linéaire et au secontl ordre. On a en effet :
a'où
ov av X
.Ox àz 0 ' 1 t
ov av V
(V'V Ox-
0 /av
~ Ox \ Az
x\ X (^ /av\ av t^
? / .' Ox \ àz J ' clc Ox
an' a\' / 1 x^ \
i\f ' i\z \z fj'
